Tak Berkategori

SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KLS 9 UJI KOMPETENSI 4 HAL 261 TH 2020

Februari 10, 2020
7837
Views

SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KLS 9 UJI KOMPETENSI 4 HAL 261 TH 2020
Selesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.

1.  Perhatikan gambar di bawah ini. Tulislah pasangan bangun yang kongruen.
     

    Pembahasan:

     A K, B F, C M, E H, G J
2.  Perhatikan gambar di bawah.
     Jika PQRS kongruen dengan UVRT dan RT = 3/5 RQ,

     tentukan panjang PQ.
   

     Pembahasan:

     Diketahui :
     PQRS kongruen dengan UVRT dan
     RT = 3/5 RQ

     Ditanyakan :
     panjang PQ = ?

     Jawab:

     RT = PQ = 3/5 RQ
     PQ =  3/5 x 8
     PQ = 24/5
     PQ = 4,8 cm
     Jadi panjang PQ adalah 4,8 cm

3.  Perhatikan gambar.
     Persegi panjang ABCD dibentuk dari 5 persegi panjang
     yang kongruen. Jika keliling setiap persegi panjang kecil
     adalah 20 cm, maka tentukan keliling dan luas ABCD
     

     Pembahasan:
     Perhatikan gambar.
   

     Misal ukuran persegi panjang yang kecil adalah x dan y, maka

     Keliling = 20 cm
     Keliling = 2(p + l)
     2(x + y) = 20
     x + y = 20/2
     x + y = 10
     Perhatikan gambar di atas.
     DC = AB
     y = x + x + x + x
     y = 4x
     Substitusikan y = 4x ke persamaan x + y = 10 sehingga
     x + y = 10
     x + 4x = 10   ( y diganti dengan 4x)
     5x = 10
     x = 10/5
     x = 2
     maka,
     y = 4x = 4(2) = 8  
     Jadi,
     Panjang = DC = y = 8 cm
     Lebar = AD = y + x = 8 + 2 = 10 cm
     Keliling ABCD  
     = 2(p + l)
     = 2(8 cm + 10 cm)
     = 2(18 cm)
     = 36 cm
     Luas ABCD
     = p × l
     = 8 cm × 10 cm
     = 80 cm²
4.  Diketahui trapesium ABCD dan trapesium FEHG pada 
     gambar di bawah ini adalah kongruen. Jika panjang AD = 12 cm, 
     DC = 9 cm, dan EF = 18 cm, tentukan panjang CB.
     

     Pembahasan:
     Perhatikan gambar di bawah.
   

     Karena kedua trapesium kongruen maka,

     AB = EF = 18 cm   ( sisi yang bersesuaian)
     Segitiga BCE siku-siku di titik E sehingga berlaku teorema Pythagoras
     BC2 = BE2 + CE2
     BC2 = 92 + 122
     BC2 = 81 + 144
     BC2 = 225
     BC  = √225 = 15 cm

     Jadi, panjang CB = BC = 15 cm

5.  Pasangan bangun di bawah ini kongruen, tentukan nilai x dan y pada gambar.

   

     (i)  x0 + 1280 = 1800  ( sudut dalam sepihak )

          x0 = 1800 – 1280
          x0 = 520
          y0 + 1100 = 1800  ( sudut dalam sepihak )
          y0 = 1800 – 1100
          x0 = 700
     (ii)  x0 = 850  sudut yang bersesuaian
           y0 + 700 + 1250 + 850 = 3600 (jumlah sudut dalam segiempat)
           y0 + 2800 = 3600
           y0 = 3600 – 2800
           y0 = 800
6.  Perhatikan gambar di bawah ini.
     

     Berapa banyak pasangan segitiga kongruen pada setiap bangun di atas?

     Tuliskan semua pasangan segitiga kongruen tersebut.
     Pembahasan:
     Semua pasangan segitiga kongruen yaitu:
     a. ada 3 pasang, yaitu ΔAED ΔAEB, ΔCDE ΔCBE, ΔADC ΔABC
     b. ada 4 pasang, yaitu ΔIFJ ΔGHI, ΔFIH ΔHGF, ΔIJH ΔGJF,
         ΔIJF ΔGJH
     c. ada 2 pasang, yaitu ΔMKO ΔNLO, ΔMKL ΔNLK
     d. ada 3 pasang, yaitu ΔPST ΔQRT, ΔPSR ΔQRS, ΔPSQ ΔQRP
7.  Apakah pasangan segitiga berikut ini pasti kongruen? Jika ya, kriteria apakah
     yang menjamin pasangan segitiga berikut ini kongruen?
     

         Pembahasan:

     a. Iya, dijamin kongruen dengan kriteria sisi sudut sisi
     b. Iya, dijamin kongruen dengan kriteria sudut 90o sisi miring satu sisi
         siku (kekongruenan khusus segitiga siku-siku)
     c. Iya, dijamin kongruen dengan kriteria sudut sisi sudut
     d. Iya, dijamin kongruen dengan kriteria sudut sisi sudut atau kriteria sisi
         sudut sudut
     e. Iya, dijamin kongruen dengan kriteria sisi sudut sisi

8.  Tuliskan satu pasangan segitiga kongruen pada setiap bangun berikut dan tunjukkan.
   

     

     Pembahasan:
     a.  Contoh: ΔPQN ΔPRM
          Bukti: PN = PM (diketahui)
          mQPN = mRPM (berhimpit)
          PQ = PR (diketahui)
          Jadi, ΔPQN ΔPRM (berdasarkan kriteria sisi sudut sisi)
          (pasangan segitiga kongruen yang lain silakan dicari dan dibuktikan)
     b.  ΔPSR ΔQXP
          Bukti: SR = PX (diketahui)
          mPRS = mQPX (berseberangan dalam, karena SR//PQ)
          PR = QP (ΔPQR segitiga samasisi)
          Jadi, ΔPSR ΔQXP (berdasarkan kriteria sisi sudut sisi)
     c.  Contoh: ΔABC ΔCDA
          AB//DC, AD//BC akibatnya AB = CD dan AD = CB
          AC (pada ΔABC) = AC (pada ΔCDA)
          Jadi, ΔABC ΔCDA (berdasarkan kriteria sisi sisi sisi)
     Pembuktian ΔABC ΔCDA juga bisa dengan kriteria sudut sisi sudut
     mBAC = mDCA (berseberangan dalam, karena AB//DC)
     AC (pada ΔABC) = AC (pada ΔCDA) (berhimpit)
     mACB = mCAD (berseberangan dalam, karena AB//DC)
     Jadi, ΔABC ΔCDA (berdasarkan kriteria sudut sisi sudut)
     (pasangan segitiga kongruen yang lain silakan dicari dan dibuktikan)
9.  Perhatikan gambar.
     Diketahui PQR LKM dan mPQR = 60o.
     Tentukanlah:
     a.  besar mPRQ
     b.  besar mLKM
     c.  besar mKML
     d.  panjang KL

     e.  Panjang KM

      Pembahasan:

     a.  PRQ = 1800 – (QPR + PQR)
          PRQ = 1800 – (900+ 600)
          PRQ = 1800 – 1500
            ∠PRQ = 300
     b.  LKM = PQR = 600  sudut yang bersesuaian
     c.  KML = PRQ = 300 sudut yang bersesuaian
     d.  Perhatikan ΔPRQ siku-siku di titik P maka berlaku rumus Pythagoras
          PQ2= QR2 – PR2
          PQ2= 132 – 122
          PQ2= 169 – 144
          PQ2 = 25
          PQ = √25
          PQ = 5 cm
          Jadi panjang KL = PQ = 5 cm
     e.  KM = QR = 13 cm  sisi yang bersesuaian
10. Perhatikan gambar di bawah.
      Diketahui AC = AE dan mBAC = mDAE
      a.  Tunjukkan bahwa ABC ADE.
      b.  Jika CD = 2 cm dan AE = 10 cm,
           tentukanlah panjang BC dan AB

     Pembahasan:

     a.  AC = AE (diketahui)
          mBAC = mDAE (diketahui)
          mABC = mADE (diketahui siku-siku)
          Jadi, ΔABC ΔADE berdasarkan kriteria sisi sudut sudut
     b.  Perhatikan gambar di bawah
     

           AB = AC – CD

           AB = 10 – 2 = 8 cm
           Jadi panjang AB adalah 8 cm
           BC² = AC² – AB²
           BC² = 10² – 8²
           BC² = 100 – 64
           BC² = 36
           BC = √36
           BC = 6 cm
           Jadi panjang BC adalah 6 cm
11. Perhatikan gambar di bawah.
      Diketahui panjang AB = 13 cm dan EF = 5 cm.
      a.  Buktikan bahwa AFE DFE
      b.  Buktikan bahwa DCB DFE
      c.  Hitunglah panjang AC
      d.  Hitunglah panjang AE

     Pembahasan:

      a.  AF = DF (diketahui)
           mAFE = mDFE = 90o (diketahui siku-siku)
           EF (pada ΔAFE) = EF (pada ΔDFE) (berhimpit)
           Jadi, ΔAFE ΔDFE berdasarkan kriteria sisi sudut sisi.
      b.  DC = DF (diketahui)
           mBDC = mEDF (bertolak belakang)
           DB = DE (diketahui)
           Jadi, ΔDCB ΔDFE berdasarkan kriteria sisi sudut sisi.
      c.  EF = 5 cm, BC = EF = 5 cm
           (karena ΔDCB ΔDFE dan BC bersesuaian dengan EF )
           AB = 13 cm, BC = 5 cm, ΔABC siku-siku di C, dengan teorema Phytagoras:
           AC2 = AB2 – BC2
           AC2 = 132 – 52
           AC2 = 169 – 25
           AC2 = 144
           AC  = √144
           maka AC = 12 cm.
     d.  Lihat ΔAFE, EF = 5 cm, AF = AC/3 = 12/3 = 4 cm,
          dengan teorema Phytagoras maka
          AE2 = EF2 + AF2
          AE2 = 52 + 42
          AE2 = 25 + 16
          AE2 = 41
          AE  = √41
          maka AE = √41 cm.
12. Apakah bangun di bawah ini pasti sebangun? Jelaskan.
      a.  dua persegi                  c.  dua segitiga sama sisi
      b.  dua lingkaran               d.  dua belah ketupat
      Pembahasan:
      a.  dua persegi pasti sebangun
      b.  dua lingkaran pasti sebangun
      c.  dua segitiga sama sisi pasti sebangun
      d.  dua belah ketupat belum tentu sebangun
13. Trapesium ABCD sebangun dengan trapesium RSPQ, tentukan

      nilai x dan y pada gambar di bawah.

      

          Mencari x

      CD : PQ = AB : RS
      x : 21 = 10 : 15
      x × 15 = 10 × 21
      x × 15 = 210
      x = 210/15
      x = 14 cm
      Mencari y
      QR : AD = RS : AB
      y : 12 = 15 : 10
      y × 10 = 15 × 12
      y × 10 = 180
      y = 180/10
      y = 18 cm
14. Perhatikan gambar berikut ini.
      

      a.  Jika trapesium (i) dan (ii) sebangun, tentukan nilai p, q, r dan s.

      b.  Tentukan perbandingan keliling trapesium (i) dan (ii).
      c.  Tentukan perbandingan luas trapesium (i) dan (ii).
      Pembahasan:
      a.  Mencari p
           p : 12 = 12 : 8
           p × 8 = 12 × 12
           p × 8 = 144
           p = 144/8
           p = 18 cm
           Mencari q
           q : 27 = 8 : 12
           q × 12 = 8 × 27
           q × 12 = 216
           q = 216/12
           q = 18 cm

           Mencari r perhatikan gambar di bawah:
         

          Dari gambar di peroleh

           a = q – 12
           a = 18 – 12
           a = 6 cm
           Sehingga,
           r2 = 82 + a2
           r2 = 82 + 62
           r2 = 64 + 36
           r2 = 100
           r  = √100
           r = 10 cm
           Mencari s
           s : r = 12 : 8
           s : 10 = 12 : 8
           s × 8 = 12 × 10
           s × 8 = 120
           s = 120/8
           s = 15 cm
     b.  Perbandingan keliling trapesium (i) dan (ii)
          = keliling trapesium (i) : keliling trapesium (ii)
          = (12 + 8 + 18 + 10) : (27 + 12 + 18 + 15)
          = 48 : 72
          = 2 : 3
     c.  Perbandingan luas trapesium (i) dan (ii)
          = luas trapesium (i) : luas trapesium (ii)
          = (1/2 (12 + 18)8) : (1/2 (27 + 18)12)
          = (1/2 (30)8) : (1/2 (45)12)
          = 120 : 270
          = 4 : 9
15. Hitunglah panjang sisi yang ditanyakan pada gambar berikut ini.
      

     Pembahasan:

      a.  EF : AB = CF : CB
           EF : 8 = 6 : (6+4)
           EF : 8 = 6 : 10
           EF × 10 = 6 × 8
           EF × 10 = 48
           EF = 48/10
           EF = 4,8 cm
      b.  AB : EF = CB : CF
           AB : 6 = 7 : 4
           AB × 4 = 7 × 6
           AB × 4 = 42
           AB = 42/4
           AB = 10,5 cm
      c.  CA : CE = AB : EF
           9 : (9 – AE) = 6 : 2
           6 × (9 – AE) = 9 × 2
           54 – 6AE  = 18
           54 – 18 = 6AE
           36 = 6AE
           AE = 36/6
           AE = 6 cm
      d.  CF : CB = EF : AB
           CF : (CF + 4) = 5 : 7
           CF × 7 = 5 × (CF + 4)
           7CF = 5CF + 20
           7CF – 5CF = 20
           2CF = 20
           CF = 20/2
           CF = 10 cm
     e.  AE : BD = CE : BC
          AE : 6 = 14 : 7
          7AE = 6 × 14
          7AE = 84
          AE = 84/7
          AE = 12 cm

     f.  Perhatikan gambar

          

    Perhatikan ΔCEG dan ΔCEH

          EG : BH = CG : CH
          EG : 6 = 6 : 9
          EG × 9 = 6 × 6
          EG × 9 = 36
          EG = 36/9
          EG = 4 cm
          Jadi panjang EF = EG + EF = 4 + 2 = 6 cm
16. Diketahui trapesium sama kaki PQRS pada gambar di bawah ini, 
      dengan panjang SR = 4 cm, PQ = 12 cm, dan QS = 20 cm. 
      Tentukan panjang SO. 
      

      Diketahui :

      Trapesium PQRS di atas
      SR = 4 cm
      PQ = 12 cm
      SQ = 20 cm
      Ditanyakan : Panjang SO ?
      Jawab :
      Misal panjang SO = x
      Maka OQ = SQ – SO = 20 – x
      Kita masukkan pada sisi-sisi yang bersesuaian.
      PQ : SR = OQ : SO
      12 : 4 = (20 – x) : x
      3 : 1 = (20 – x) : x
      3x = 1 (20 – x)
      3x = 20 – x
      3x + x = 20
      4x = 20
      x = 20/4
      x = 5    
      Jadi panjang SO adalah 5 cm
17. Perhatikan gambar.
      a.  Tuliskan pasangan segitiga sebangun pada gambar tersebut.
      b.  Dari tiap-tiap pasangan segitiga sebangun tersebut,tentukan pasangan sisi yang
           bersesuaian dan buat perbandingannya.

      c.  Tentukan panjang NK, KL, dan MK.
     

     Pembatasan:

      a.  Pasangan segitiga sebangun yaitu
           ΔMKL ΔMNK, ΔMKL ΔKNL, dan ΔMNK ΔNKL
      b.  Pasangan sisi yang bersesuaian dan buat perbandingannya
           ΔMKL ΔMNK, perbandingan sisi yang bersesuaian yaitu
            MK/MN = KL/NK = LM/LK
          
            ΔMKL ΔKNL, perbandingan sisi yang bersesuaian yaitu
            MK/KN = KL/NL = LM/LK
            ΔMNK ΔNKL, perbandingan sisi yang bersesuaian yaitu
            MN/NK = KN/KL = MK/NL
      c.  NK² = LN × NM
           NK² = 9 × 16
           NK² = 144
           NK = √144
           NK = 12 cm
           KL² = LN × LM
           KL² = 9 × (9 + 16)
           KL² = 9 × 25
           KL = √9 × √25
           KL = 3 × 5
           KL = 15 cm
           MK² = NM × LM
           MK² = 16 × 25
           MK = √16 × √25
           MK = 4 × 5
           MK = 20 cm
18. ABCD adalah persegi.
      Jika DE = CF, maka tentukanlah panjang:
      a.  DE                             d.  OC
      b.  OE                             e.  OF
      c.  OD
      

      Pembahasan:

      Diketahui:
      ABCD persegi
      DE = CF
      DA = DC = AB = CB = 8 cm
      EB = 2 cm
      CE = CB – EB = 8 – 2 = 6 cm
      Untuk mencari sisi miring dari segitiga, gunakan pythagoras.
      DE² = DC² + CE²
      DE² = 8² + 6²
      DE² = 64 + 36
      DE² = 100
      DE = √100
      DE = 10 cm
      CF = 10 cm
      Karena DE = CF dan keduanya berpotongan (segitiga DCE dan CBF kongruen),
      maka sudut COE 900.
      DC x CE = OC x DE
      8 x 6 = OC x 10
      48 = OC × 10
      OC = 48/10
      OC = 4,8 cm
      OF = CF – CO
      OF = 10 – 4,8
      OF = 5,2 cm
      DO² = DC² – CO²
      DO² = 8² – 4,8²
      DO² = 64 – 32,04
      DO² = 22,40
      DO = 4,7 cm
      OE = DE – DO
      OE = 10 – 4,7
      OE = 5,3 cm
19. Hitunglah panjang sisi yang diberi label pada gambar di bawah ini.
      (semua dalam satuan sentimeter)
      

     Pembahasan:

      Gambar 1
      PQ = 15
      PT = 9
      TR = 12
      QR = 30
      PR = PT + TR = 9 + 12 = 21
      PST//PQR
      a/PQ = PT/PR
      a/15 = 9/21
      a = 9×15/21
      a = 6,43

      b/PT = QR/PR
      b/9 = 30/21
      b = 30×9/21
      b = 12,86

      Gambar 2
      Perhatikan segitiga KQM dan segitiga LQR adalah
      dua segitiga sebangun, sehingga:
      QM : QR = KM : LR = KQ : LQ
      ↔ d : 5 = 12 : f = 14 : e
      Perhatikan segitiga MQP dan segitiga MRL adalah
      dua segitiga sebangun, sehingga:
      MQ : MR = MP : ML = PQ : LR
      ↔ d : (d + 5) = 7 + (c + 7) = 5 : f
      Dari perbandingan di atas kita peroleh:
      d : 5 = 12 : f
      ↔ df = 60
      d : (d + 5) = 5 : f
      ↔ df = 5d + 25
      Akibatnya:
      5d + 25 = 60
      ↔ 5d = 35
      ↔ d = 7
      df = 60
      ↔ 7f = 60
      ↔ f = 60/7
      7 + (c + 7) = 5 : f
      ↔ 5c + 35 = 7f
      ↔ 5c = 7(60/7) – 35
      ↔ 5c = 60 – 35
      ↔ c = 25/5 = 5
      12 : f = 14 : e
      ↔ 12e = 14f
      ↔ 12e = 14(60/7)
      ↔ 12e = 120
      ↔ e = 10
      Jadi, c = 5, d = 7, e = 10, dan f = 60/7 = 8 4/7
      Gambar 3:
      EF : AB = CF : CB
      6 : 9 = 8 : (8 + p)
      6(8 + p) = 9 × 8
      48 + 6p = 72
      6p = 72 – 48
      6p = 24
      p = 24/6 = 4
      FB : BC = FG : CD
      4 : 12 = q : 24
      12q = 4 × 24
      12q = 96
      q = 96/12 = 8
      Gambar 4:
      SO : RO = TO : QO
      10 : 18 = 14 : x
      10x = 18 × 14
      10x = 252
      x = 252/10 = 25,2
      ST : QR = SO : RO
      16 : y = 10 : 18
      10y = 16 × 18
      10y = 288
      y = 288/10 = 28,8
      ST : QR = PS : PQ
      16 : 28,8 = 12 : (12 + z)
      16(12 + z) = 28,8 × 12
      192 + 16z = 345,6
      16z = 345,6 – 192
      16z = 153,6
      z = 153,6/16 = 9,6
20. Dua belas tusuk gigi disusun seperti pada gambar di samping.
      Dengan memindahkan hanya dua tusuk gigi bagaimana kamu
      membentuk enam persegi atau tujuh persegi?
      

      Gambar di atas bisa dikatakan terdiri atas 6 persegi yaitu 2 persegi besar dan

      4 persegi kecil. Dapat juga dikatakan terdiri atas 7 persegi yaitu 3 persegi besar
      dan 4 persegi kecil.
21. Enam belas tusuk gigi disusun seperti gambar di samping.
      Dengan memindahkan hanya dua tusuk gigi bagaimana
      kamu membentuk empat persegi?
      

22. Pada gambar di bawah ini menunjukkan persegi yang dibentuk

      dengan 20 tusuk gigi. Di tengahnya terdapat lubang kotak dengan
      luas 1/25 luas seluruhnya. Dengan menggunakan 18 tusuk gigi, bagilah
      luasan di antara persegi luar dan persegi di tengah menjadi 6 daerah
      yang sebangun.
      

23. Perhatikan gambar.
      Bangun PINK, NOTE, dan BLUE adalah persegi. Panjang
      KN = 5 cm dan NE = 9 cm, Titik P O B terletak dalam satu
      garis lurus. Tentukan panjang sisi dan luas bangun BLUE.
     

      Pembahasan:

      Diketahui
      Persegi PINK    KN = 5 cm
      Persegi NOTE   NE = 9 cm
      Pegitga OPI     PI = KN = 5 cm
                               OI = NO – NI
                               OI = 9 – 5 = 4 cm
      Pegitiga BOT    OT = 9 cm
      Kita akan menggunakan dua segitiga sebangun untuk mencari panjang BT agar
      selanjutnya bisa menentukan panjang sisi BE.
      Sisi-sisi yg bersesuaian mempunyai perbandingan yg sama pada Δ OPI dan Δ BOT.
      PI / OT = OI / BT = PO / OB
      PI / OT = OI / BT 
      5 / 9 = 4 / BT
      5 BT = 4 × 9
      5 BT = 36
      BT = 36 / 5
      BT = 7,2 cm
      Panjang BE = BT + TE
                    = 7,2 cm + 9 cm
                    = 16,2 cm
      Luas persegi BLUE = 16,2 cm × 16,2 cm
                                = 262,44 cm²
      Jadi luas bangun BLUE adalah 262,44 cm²
24. Pada gambar di bawah ini, tinggi tongkat PQ sesungguhnya adalah 4 m
      dan panjang bayangannya 15 m. Jika panjang bayangan pohon adalah
      30 m, tentukan tinggi pohon.
     

       
      Pembahasan:

      Diketahui :
      Tinggi tongkat PQ = 4 m
      Panjang bayangan tongkat OQ = 15 m
      Panjang bayangan pohon OR = 30 m
      Ditanya :
      Tinggi pohon SR  ?
      Jawab :
      Δ QOP sebangun dengan Δ ROS
      Sisi-sisi yg bersesuaian
      OQ dengan OR
      PQ dengan RS
      Menentukan tinggi pohon
      OQ/OR = PQ/SR
      15/30 = 4/SR
      15 SR = 30 × 4
      15 SR = 120
      SR = 120/15
      SR = 8
      Jadi tinggi pohon tersebut adalah 8 m
25. Sekelompok peserta jelajah alam mendapat tugas untuk menaksir lebar suatu
      sungai tanpa mengukurnya secara langsung. Mereka menentukan titik acuan
      di seberang sungai yaitu titik A. Satu peserta lain berdiri di titik C.
      Peserta yang lain berdiri di titik B tepat di depan A. Kemudian berjalan menuju
      ke titik F dengan jarak B ke F adalah dua kali jarak B ke C. Dari titik F ia berjalan
      menuju titik D, di mana dengan pandangannya objek di titik A-C-D terletak pada
      satu garis lurus. Sehingga lebar sungai dapat diketahui dengan mengukur jarak F ke D.    
      Apakah cara tersebut tepat utuk menaksir lebar sungai? Jelaskan.
      

      Pembahasan:

      Iya, tentu. Cara tersebut menggunakan konsep kekongruenan dua segitiga
      dalam gambar di atas yaitu ΔABC dan ΔDFC. Silakan dibuktikan.
      Petunjuk: gunakan kriteria kekongruenan sudut-sisi-sudut
      (gunakan titik sudut B, C, dan F dan sisi BC dan FC)