SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KLS 9 LATIHAN 4.4 HAL 254 TH 2020
Selesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.
1. Pada gambar di samping, QR//ST.
a. Buktikan bahwa ∆QRP dan ∆TSP sebangun.
b. Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian
Pembahasan:
Gambar ΔQRP dan ΔTSP dengan QR // ST
a. m∠RQP = m∠STP (berseberangan dalam)
m∠QRP = m∠TSP (berseberangan dalam)
m∠QPR = m∠TPS (bertolak belakang)
Jadi, ΔQRP ∼ ΔTPS karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
(sebenarnya cukup hanya 2 pasang sudut yang bersesuaian sama besar
maka dua segitiga bisa dikatakan sebangun)
b. Sisi-sisi yang bersuaian
QR dengan ST
PR dengan PS
PQ dengan PT
Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah
QR/ST = PR/PS = PQ/PT
2. Perhatikan gambar berikut
a. Buktikan bahwa ∆ABC dan ∆PQR sebangun
b. Tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
Pembahasan:
Gambar Δ ABC dan Δ PQR segitiga siku-siku
a. Pembuktian Δ ABC dan Δ PQR sebangun
∠BAC = ∠ QPR = 90° (diketahui)
Sisi AC bersesuaian dengan sisi PR, maka
AC/PR = 4/16 = ¼
Mencari panjang BC dengan Pythagoras.
BC² = AB² + AC²
BC2 = 3² + 4²
BC2 = 9 + 16
BC2 = 25
BC = √25
BC = 5 cm
Mencari panjang PQ dengan Pythagoras.
PQ² = RQ² – PR²
PQ2 = 20² – 16²
PQ2 = 400 – 256
PQ2 = 144
PQ = √144
PQ = 12 cm
Membuktikan perbandingan sisi yang bersesuaian = ¼
BC/RQ = 5/20 = ¼
AB/PQ = 3/12 = ¼
Jadi Δ ABC sebangun dengan Δ PQR karena memenuhi syarat kesebangunan
dua segitiga yaitu perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sama dan
sudut yang diapitnya sama besar.
b. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
AB/PQ = AC/PR = BC/RQ
3. Perhatikan gambar berikut.
Apakah ∆KMN sebangun dengan ∆OLN? Tunjukkan.
Pembahasan:
Pembuktian sudut pada dua segitiga
∠LON = ∠ MKN (sudut siki-siku atau sehadap)
∠OLN = ∠ KMN (sudut sehadap)
∠ONL = ∠ KNM (sudut berimpit)
Jadi Δ KMN sebangun dengan Δ OLN karena sudut-sudut yang bersesuian sama besar.
4. Pada ∆ABC dan ∆PQR diketahui m∠A = 105o, m∠B = 45o,
m∠P = 45o, dan m∠Q = 105o.
a. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Jelaskan.
b. Tulislah pasangan sisi yang mempunyai perbandingan yang sama.
Pembahasan:
Perhatikan gambar!
a. Pembuktian kedua segitiga tersebut sebangun
Sudut-sudut yang sama besar
∠ A = ∠ Q = 105°
∠ B = ∠ P = 45°
∠ C = ∠ R = 180° – 105° – 45° = 30°
Jadi kedua segitiga tersebut sebangun karena dua pasang sudut yang
bersesuaian sama besar.
b. Pasangan sisi yang mempunyai perbandingan yang sama
AB dengan QP
BC dengan PR
AC dengan QR
Sehingga, AB/QP = BC/PR = AC/QR
5. Perhatikan gambar.
Diketahui m∠ABC = 90o, siku-siku di B.
a. Tunjukkan bahwa ∆ADB dan ∆ABC sebangun.
b. Tunjukkan bahwa ∆BDC dan ∆ABC sebangun.
Pembahasan:
a. Perhatikan sudut-sudut bersesuaian pada ∆ADB dan ∆ABC.
∠BAD = ∠BAC (kedua sudut berimpit)
∠ADB = ∠ABC (kedua sudut merupakan sudut siku-siku)
∠ABD = 180° – ∠BAD – ∠ADB
= 180° – ∠BAC – ∠ABC
= ∠ACB
Jadi ∆ADB dan ∆ABC sebangun karena ketiga pasang sudut bersesuaian sama besar.
b. Perhatikan sudut-sudut bersesuaian pada ∆BDC dan ∆ABC.
∠BCD = ∠BCA (kedua sudut berimpit)
∠BDC = ∠ABC (kedua sudut merupakan sudut siku-siku)
∠CBD = 180° – ∠BCD – ∠BDC
= 180° – ∠BCA – ∠ABC
= ∠BAC
Jadi ∆BDC dan ∆ABC sebangun karena ketiga pasang sudut bersesuaian sama besar.
6. Perhatikan gambar.
a. Tunjukkan bahwa ∆FCE ∼ ∆ACB.
b. Tunjukkan bahwa ∆FCE ∼ ∆DEB.
c. Tunjukkan bahwa ∆ACB ∼ ∆DEB.
d. Tentukan panjang FE dan AF.
Pembahasan:
a. Akan ditunjukkan bahwa ∆FCE sebangun dengan ∆ACB.
Perhatikan:
∠FCE = ∠ACB ( berimpit)
∠CFE = ∠CAB (sudut sehadap)
∠CEF = ∠CBA (sudut sehadap)
Jadi tiga pasang sudut bersesuaian pada ∆FCE dan ∆ACB
sama besar, maka ∆FCE dan ∆ACB sebangun.
b. Akan ditunjukkan bahwa ∆FCE sebangun dengan ∆DEB.
Perhatikan:
∠FCE = ∠DEB (sudut sehadap)
∠CFE = ∠EDB (sudut sehadap)
∠CEF = ∠EBD (sudut sehadap)
Karena tiga pasang sudut bersesuaian pada ∆FCE dan
∆DEB sama besar, maka ∆FCE dan ∆DEB sebangun.
c. Akan ditunjukkan bahwa segitiga ∆ACB sebangun dengan segitiga ∆DEB.
Perhatikan:
∠ACB = ∠DEB (merupakan dua sudut sehadap)
∠CAB = ∠EDB (merupakan dua sudut sehadap)
∠CBA = ∠EBD (merupakan dua sudut berimpit)
Karena tiga pasang sudut bersesuaian pada ∆ACB dan
∆DEB sama besar, maka ∆ACB dan ∆DEB sebangun.
d. Perhatikan segitiga ∆FCE dengan segitiga ∆DEB.
FE : DB = CE : EB
FE : 12 = 5 : 10
FE = 12 × 5 : 10 = 6 cm
ED : CF = EB : CE
ED : 4 = 10 : 5
ED = 4 × 10 : 5 = 8 cm
Perhatikan bahwa AF = ED = 8 cm
Jadi, FE = 6 cm dan AF = 8 cm
7. Perhatikan gambar.
a. Hitunglah panjang EB
b. Hitunglah panjang CE
Pembahasan nomor a :
Diketahui :
AB = 7 cm
DE = 5 cm
CE = 6 cm
Ditanyakan :Menghitung panjang EB ?
Jawab:
AB/DE = BC/CE
7/5 = (6 + EB) / 6
5 (6 + EB) = 7 × 6
30 + 5 EB = 42
5 EB = 42 – 30
5 EB = 12
EB = 12/5
EB = 2,4 cm
Jadi panjang EB adalah 2,4 cm
Pembahasan nomor b :
Diketahui :
AB = 2 cm + 6 cm = 8 cm
BE = 4 cm
BD = 6 cm
Ditanyakan:Panjang CE ?
Jawab :
AB/BE = BC/BD
8/4 = (4 + CE) / 6
4 (4 + CE) = 8 × 6
16 + 4 CE = 48
4 CE = 48 – 16
4 CE = 32
CE = 32/4
CE = 8 cm
Jadi panjang CE adalah 8 cm
8. Perhatikan gambar.
Hitunglah panjang MN pada gambar di bawah ini.
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Buat garis bantu ST
PT = PQ – TQ = 20 cm – 12 cm
MN = MU + UN dan UN = SR = 12 cm
Mencari MU perhatikan ∆ SMU dan ∆ SPT
MU / PT = SM / SP
MU / 8 = 5 / 8
MU × 8 = 5 × 8
MU × 8 = 40
MU = 40/8
MU = 5 cm
Sehingga panjang MN adalah
MN = MU + UN = 5 cm + 12 cm = 17 cm
9. Perhatikan gambar.
Tentukan:
a. Pasangan segitiga yang sebangun.
b. Pasangan sudut yang sama besar dari masing-masing pasangan
segitiga yang sebangun tersebut.
c. Pasangan sisi bersesuaian dari masing-masing pasangan segitiga
yang sebangun tersebut.
d. Panjang sisi BA, BC, dan BD.
Pembahasan:
a. Pasangan segitiga yang sebangun
Δ ABC sebangun dengan Δ BDC
Δ ABC sebangun dengan Δ ADB
Δ ADB sebangun dengan Δ BDC
b. Pasangan sudut yang sama besar dari masing-masing pasangan
segitiga yang sebangun tersebut.
∆ ABC ∼ ∆ ABD
∠ABC = ∠ ADB,
∠BAC = ∠ DAB,
∠ACB = ∠ ABD
∆ ABC ∼ ∆ BCD
∠ABC = ∠ BDC
∠ BAC = ∠ DBC
∠ACB = ∠ BCD
∆ ABD ∼ ∆BCD
∠ADB = ∠BDC,
∠DAB = ∠ DBC,
∠ABD = ∠ BCD
c. Pasangan sisi bersesuaian dari masing-masing pasangan
segitiga yang sebangun tersebut.
∆ ABC ∼ ∆ ABD
AB dengan AD
BC dengan BD
AC dengan BA
∆ ABC ∼ ∆ BCD
AB dengan BD
BC dengan CD
AC dengan BC
∆ ABD ∼ ∆BCD
AD dengan BD
BD dengan CD
AB dengan BC
d. Panjang sisi BA, BC, dan BD.
Mencari panjang BD
Perhatikan Δ ABD dan Δ BCD
CD/BD = BD/AD
18/BD = BD/32
BD × BD = 18 × 32
BD² = 576
BD = √576
BD = 24 cm
Jadi panjang BD adalah 24 cm
Mencari panjang AB
Perhatikan Δ ABC dan Δ ABD
AC / AB = AB / AD
50 / AB = AB / 32
AB × AB = 50 × 32
AB² = 1600
AB = √1600
AB = 40 cm
Jadi panjang AB adalah 40 cm
Mencari panjang BC
Perhatikan Δ ABD dan Δ BCD
AD / BD = AB / BC
32 / 24 = 40 / BC
32 × BC = 24 × 40
32 × BC = 960
BC = 960/32
BC = 30 cm
Jadi panjang BC adalah 30 cm
10. Perhatikan gambar.
Diketahui PR = 15 cm dan QU = 2/3 UP.
Tentukan panjang TS.
PR = 15 cm
QU : UP = 2 : 3
UT/PR = QU/QP
UT/15 = 2 / (2+3)
UT/15 = 2 / 5
UT × 5 = 2 × 15
UT × 5 = 30
UT = 30/5
UT = 6 cm
Jadi panjang TS adalah
TS = PR – UT
TS = 15 – 6 = 9 cm
TS = PR – UT
TS = 15 – 6 = 9 cm
11. Perhatikan gambar.
Diketahui KL = 10 cm dan MN = 14 cm. P dan Q berturut-turut adalah titik tengah
LN dan KM. Tentukan panjang PQ.
Mencari panjang PQ adalah
PQ = (MN – KL) : 2
PQ = (14 – 10) : 2
PQ = 4 : 2
PQ = 2 cm
12. Perhatikan gambar.
Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika AB = 10 cm dan
CD garis bagi sudut C, Tentukan panjang BD.
Pembahasan:
Perhatikan Δ ABC
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 102 + 102
AC2 = 100 + 100
AC2 = 200
AC = √100 × √2
AC = 10√2 cm
ΔABC siku-siku sama kaki (m∠ABC = 90o), maka
BC = AB = 10 cm, m∠BCA = m∠BAC = 45o, dan AC = 10√2 cm.
ΔCBD ∼ ΔCED karena DC = DC (berhimpit), m∠BCD = m∠ECD (diketahui),
dan m∠DBC = m∠DEC = 90o. Akibatnya BC = EC = 10 cm dan BD = ED.
Perhatikan ΔDAE, m∠DAE = m∠BAC = 45o (berhimpit), maka m∠ADE = 45o.
Berarti ΔDAE adalah segitiga siku-siku sama kaki.
Sehingga, ED = AE = AC –EC = 10√2 – 10 = 10(√2 –1) cm.
13. Pada suatu sore, sebuah rumah dan pohon yang bersebelahan memiliki panjang
bayangan berturut-turut 10 m dan 4 m. Jika tenyata tinggi pohon sebenarnya
adalah 10 m, tentukan tinggi rumah tersebut sebenarnya.
Pembahasan:
Diketahui :
Panjang bayangan rumah = 10 m
Panjang bayangan pohon = 4 m
Tinggi sebenarnya pohon = 10 m
Ditanyakan :
Tinggi sebenarnya rumah….?
Jawab :
Pb pohon / Ps pohon = Tb rumah / Ts rumah
4 / 10 = 10 / Ts rumah
4 × Ts rumah = 10 × 10
4 × Ts rumah = 100
Ts rumah = 100/4
Ts rumah = 25 m
Jadi tinggi sebenarnya rumah adalah 25 m.
14. Memperkirakan Tinggi Pohon
Untuk menentukan tinggi sebuah pohon, Ahmad menempatkan cermin di atas
tanah (di titik E) seperti gambar di bawah ini. Dari titik E Ahmad berjalan mundur
(ke titik D), sedemikian hingga dia dapat melihat ujung pohon pada cermin.
Teman Ahmad mengukur panjang BE = 18 m, ED = 2,1 m dan ketika berdiri
jarak mata Ahmad ke tanah (CD) adalah 1,4 m. Perkirakan tinggi pohon tersebut.
Diketahui:
Jarak Ahmad ke cermin = ED = 2,1 m.
Tinggi mata Ahmad = CD = 1,4 m
Jarak dari cermin ke pohon = BE = 18 m
Ditanyakan: tinggi pohon = ?
Jawab:
Tinggi pohon : Tinggi mata Ahmad = Jarak pohon ke cermin : jarak Ahmad ke cermin
AB : CD = BE : ED
AB : 1,4 = 18 : 2,1
AB = 1,4 × 18 : 2,1 = 12
Jadi tinggi pohon adalah 12 m.
15. Memperkirakan Tinggi Bukit
Dua mahasisiwa Teknik Sipil Agung dan Ali ingin memperkirakan tinggi
suatu bukit terhadap posisinya berdiri yang tidak jauh dari bukit itu. Mereka
menggunakan bantuan peralatan laser yang dipasang pada sebuah tongkat
penyangga setinggi 3 m dari permukaan tanah. Agung mengamati puncak bukit
melalui alat tersebut dan diperoleh garis pandang ke puncak bukit adalah 1.540
m. Ali berbaring di tanah memandang ke arah ujung peralatan tersebut dan
puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus. Posisi mata Ali berjarak 4 m
dari tongkat penyangga. Perkirakan tinggi bukit tersebut.
(perhatikan gambar)
Jarak pandang dengan ujung tongkat
a2 = 4² + 3² Teorema Pythagoras
a = 16 + 9
a = √25
a = 5
Jarak pandang Ali dengan bukit = 1.540 + 5 = 1.545
Mencari Tinggi bukit
Tinggi Bukit/Jarak Pandang Ali = 3 / 5
Tinggi Bukit/1.545 = 3/5
Tinggi Bukit = 1.545 x 3/5
Tinggi Bukit = 927 m
Cara lain:
t / 3 = 1.545 / 5
t × 5 = 3 × 1.545
t × 5 = 4.635
t = 4.635 / 5
t = 927
Jadi tinggi bukit adalah 927 m
16. Analisis Kesalahan
Gambar (a) menunjukkan persegi dengan panjang sisi 8 satuan. Persegi itu
dibagi menjadi 4 bagian yaitu dua segitiga (P dan Q), serta dua trapesium
(R danS). Gambar (b) menunjukkan persegi panjang berukuran
5 satuan ×13 satuan. Persegi itu dibagi menjadi 4 bagian yaitu dua segitiga
(P’ dan Q’), serta dua trapesium (R’ dan S’). Apakah 8 ×8 = 5 ×13?
Jika tidak, bagaimana kamu menjelaskan hal ini? Di mana letak kesalahannya?
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Petunjuk:
Gambar ulang dengan teliti, akan ditemukan bahwa
P ≁P’, Q ≁Q’, R ≁R’, dan S ≁S’.
(Selidikilah kemiringan garis yang ditunjuk di atas)
17. Analisis Kesalahan
Perhatikan gambar di bawah ini! Jelaskan di manakah letak kesalahannya?
Jelaskan dari manakah lubang satu kotak ini berasal?
Pembahasan:
Manakah letak kesalahan pada luas segitiga merah kedua gambar tersebut!
Luas segitiga merah gambar (i) = 12 satuan kotak
Luas segitiga merah gambar (ii) = 10,5 satuan kotak
Selisih luas gambar (i) dan gambar (ii) = 12 – 10,5 = 1,5 satuan kotak
Sehingga terbukti bahwa segitiga merah pada gambar (ii) lebih kecil 1,5 kotak
daripada segitiga merah pada gambar (i), maka jelas luas bangun pada gambar (ii)
lebih kecil 1,5 satuan kotak daripada luas bangun gambar (i).
Jadi ditemukan bahwa gambar (i) dan (ii) tidak kongruen.
