Tak Berkategori

SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS 8 SEMESTER 2 LATIHAN 6.3 HALAMAN 31 TAHUN 2021

Januari 19, 2021
459
Views
 

SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS 8 SEMESTER 2 LATIHAN 6.3 HALAMAN 31 TAHUN 2021
1.  Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang membentuk segitiga
     siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul?
     a.  13, 9, 11 
     b.   8, 17 ,15
     c.  130, 120, 50 
     d.  12, 16, 5 
     e.  10, 20, 24 
     f.   18, 22, 12 
     g.  1,73; 2,23; 1,41
     h.  12, 36, 35
     Sebelum ke pembahasan kita lihat dulu ringkasaan materinya sebagai berikut,
     Dengan berdasarkan teorama pythagoras kita bisa menentukan jenis segitiga.
     Untuk menentukan sebuah segitiga harus memenuhi syarat yaitu →  a + b > c.
     Gambar jenis segitiga bisa dilihat di bawah ini.
     

    Dalam Δ ABC, apabila a, b, dan c adalah sisi-sisi di hadapan sudut A, B, dan C, 
     maka berlaku kebalikan teorama Pythagoras, yaitu :
     –  Jika a² = b² + c² , maka Δ ABC adalah segitiga siku-siku di ∠ A
     –  Jika a² < b² + c² , maka Δ ABC adalah segitiga lancip di ∠ A
        Sisi a terletak dihadapan ∠ A
     –  Jika b² < a² + c², maka Δ ABC adalah segitiga lancip di ∠ B
        Sisi b terletak di hadapan ∠ B 
     –  Jika a² > b² + c², maka Δ ABC adalah segitiga tumpul di ∠ A
        Sisi a terletak di hadapan ∠ A
     Pembahasan:
     Untuk menentukan jenis segtiga kita kuadrat sisi terpanjang di ruas kiri dan 
     ruas kanan merupakan jumlah kuadrat dua sisi yg lain
     a.  13, 9, 11 
          13² < 9² + 11²
          169 < 81 + 121
          169 < 202
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c² .
     b.   8, 17, 15
          17² = 8² + 15²
          289 = 64 + 225
          289 = 289
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku, karena a² = b² + c²
     c.  130, 120, 50 
          130² = 120² + 50²
          16900 = 14400 + 2500
          16900 = 16900
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku, karena a² = b² + c²
     d.  12, 16, 5 
          16² > 12² + 
          256 > 144 + 25
          256 > 169
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²
     e.  10, 20, 24 
          24² > 20² + 10²
          576 > 400 + 100
          576 > 500
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²
     f.   18, 22, 12 
          22² > 18² + 12²
          484 > 324 + 144
          484 > 468
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²
     g.  1,73;  2,23;  1,41
          2,23² < 1,73² + 1,41²
          4,9729 < 2,9929 + 1,9881
          4,9729 < 4,981
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c²
     h.  12, 36, 35
          36² < 12² + 35²
          1296 < 144 + 1225
          1296 < 1369
          Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c² 
2.  Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang merupakan tripel
     Pythagoras?
     a.  10, 12, 14
     b.  7, 13, 11
     c.  6 , 2 ½ ,  6 ½ 
     Sebelum ke pembahasan kita lihat dulu ringkasaan materinya sebagai berikut,
     Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah sudut nya siku-siku atau 90°. 
     Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Phytagoras, yaitu kuadrat dari sisi 
     miring/hypotenusa adalah jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya. 
     a² +b² = c² dimna  c adalah sisi miring/hypotenusa
     Sisi miring/hypotenusa adalah sisi terpanjang pada sebuah segitiga siku-siku 
     dan letaknya di depan sudut siku-siku nya. Tripel phytagoras adalah ukuran 
     tiga sisi segitiga yang memenuhi teorema phytagoras.
     Pada soal no 2 kita akan mengecek apakah kelompok 3 bilangan yang diberikan 
     merupakan tripel phytagoras atau bukan dengan menggunakan teorema 
     Phytagoras.
     Pembahasan:
     a.  10, 12, 14
          10² + 12² … 14²
          100 + 144 … 196
          244  > 196
          Jadi bukan tripel phytagoras
     b.  7, 13, 11
          7² + 11² … 13²
          49 + 121 … 169
          170 > 169
          Jadi bukan tripel phytagoras
     

3.  Tentukan apakah ΔKLM dengan titik K(6, −6), L(39, −12), dan M(24, 18)
      adalah segitiga sebarang, segitiga sama kaki, atau segitiga sama sisi. Jelaskan
      jawaban kalian.
     Pembahasan :
     Diketahui segitiga KLM dengan titik sudut
     Titik K (6,-6)
     Titik L (39,-12)
     Titik M (24,18)
     Ditanya bentuk segitiga apa ?
     Jawab:
     Kita cari panjang sisi-sisinya terlebih dahulu, dengan menggunakan rumus 
     Pythagoras sebagai berikut,
     c = √(a² + b²)
     Dengan C sisi terpanjang (sisi miring/hipotenusa)
     Kita cari panjang KL
     KL = √{(y2 – y1)² + (x2 – x1)²}
     KL = √{(-12-(-6))² + (39 – 6)²}
     KL = √{(-6)² + 33²}
     KL = √(36 + 1089)
     KL = √1125
     KL = 33,5 satuan
     Panjang KM
     KM =  √{(y2 – y1)² + (x2 – x1)²}
     KM = √{(18-(-6)² + (24-6)²}
     KM = √(24² + 18²)
     KM = √(576 + 324)
     KM = √900
     KM = 30 satuan
     Panjang LM
     LM = √{(y2 – y1)² + (x2 – x1)²}
     LM = √{(18-(-12)² + (24-39)²}
     LM = √{30² + (-15)²}
     LM = √(900 + 225)
     LM = √1125
     LM = 33,5 satuan
     Jika dilihat dari panjang sisi-sisinya dapat kita simpulkan bahwa segitiga 
     KLM adalah segitiga sama kaki.
4.  Jika 32, x, 68 adalah tripel Pythagoras. Berapakah nilai x? Tunjukkan
     bagaimana kalian mendapatkannya.
     Pembahasan:
     Diketahui panjang sisi-sisi suatu segitiga, yaitu 
     a = 32, b = x, dan c = 68.
     Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
     a² + b² = c²
     ⇔ 32² + x² = 68²
     ⇔ x² = 68² – 32²
     ⇔ x² = 4.624 – 1.024
     ⇔ x² = 3.600
     ⇔ x = √3.600
     ⇔ x = 60
     Jadi, jika 32, x, 68 adalah Tripel Pythagoras, maka x adalah 60.
5.  Bilangan terkecil dari tripel Pythagoras adalah 33. Tentukan tripel Pythagoras.
     Jelaskan bagaimana kalian menemukan dua bilangan lainnya.
     Pembahasan:
     Diketahu bilangan terkecil tripel pythagoras adalah 33
     Karena bilangan terkecil adalah kelipatan 3, maka dapat dibandingkan dengan 
     bilangan tripel pythagoras dengan bilangan terkecil 3.
     Telah diketahui bahwa (3,4,5) adalah bilangan tripel pythagoras sehingga untuk 
     setiap x bilangan bulat positif, bilangan-bilangan (3x,4x,5x) juga merupakan 
     tripel pythagoras.
     Jadi
     a = 3(11) = 33
     b = 4(11) = 44
     c = 5(11) = 55
 
     Jadi dua bilangan lainnya  adalah 44 dan 55.
6.  Bingkai jendela yang terlihat berbentuk persegi panjang dengan tinggi 408 cm,
     panjang 306 cm, dan panjang salah satu diagonalnya 525 cm. Apakah bingkai
     jendela tersebut benar-benar persegi panjang? Jelaskan.
     

     Pembahasan:
     Diketahui:
     Tinggi = 408 cm
     Panjang = 306 cm
     Diagonal = 525 cm
     Ditanyakan:
     Apakah bingkai jendela tersebut benar-benar persegi panjang?
     Jawab:
     Karena sudut pada persegi panjang adalah siku-siku, maka untuk menentukan 
     diagonal dalam persegi panjang berlaku teorema Pythagoras yaitu:
     

     Ternyata, pernyataan tersebut tidak terpenuhi. Maka sudut pada bingkai jendela 
     tersebut tidak siku-siku. Padahal semua sudut pada persegi panjang seharusnya 
     siku-siku.
     Jadi, bingkai jendela tersebut sebenarnya bukan berbentuk persegi panjang.
     Bingkai jendela tidak benar-benar peregi panjang.
     4082 + 3062 ≠ 5252
7.  Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa
     ketiga ukuran tersebut bukan merupakan tripel Pythagoras.
     a.  Jika (p – q), p, (p + q) membentuk tripel Pythagoras, tentukan hubungan
          antara p dan q.
     b.  Jika p = 8, tentukan tripel Pythagoras.
     Pembahasan:
     Misalkan panjang ketiga sisi segitiga adalah a = 1 cm, b = 2a cm, dan c = 3a cm,
     akan diuji dengan menggunakan teorema Pythagoras seperti berikut.
     a² + b² = c²
     1² + (2a)² = (3a)²
     1 + 4a²  ≠ 9a²
     a.  Jika (p – q), p, (p + q) membentuk tripel Pythagoras, maka sisi terpanjang
          (hipotenusa) adalah p + q. Sehingga, hubungan p dan q adalah seperti
          berikut.

     b.  Jika p = 8, berarti q = 2, sehingga tripel Pythagoras adalah p – q = 8 – 2 = 6,

          p + q = 8 + 2 = 10.
          Sebelumnya harus diuji terlebih dahulu apakah 6, 8, 10 apakah benarbenar
          tripel Pythagoras.
          6² + 8² = 10²
8.  Perhatikan ΔABC berikut ini.  BD = 4 cm, AD = 8 cm, dan CD = 16 cm.
     a.  Tentukan panjang AC.
     b.  Tentukan panjang AB.
     c.  Apakah ΔABC adalah segitiga siku-siku? Jelaskan.
     

      Pembahasan:

     a.  Menentukan panjang AC.
          

     b.  Menentukan panjang AB
          

    c.  Segitiga ABC memiliki ukuran AB = 4√5 cm , AC = 8√5 cm, dan BC = 20 cm.
         Sehingga, untuk menguji apakah segitiga ABC adalah siku-siku atau bukan, 
         maka diuji seperti berikut.
         

 
9.  Diketahui persegi panjang ABCD. Terdapat titik P sedemikian sehingga PC
     = 8 cm, PA = 6 cm, dan PB = 10 cm. Dapatkah kalian menentukan jarak titik
     P ke D? Bagaimana kalian menemukannya?
     Pembahasan:
     Jawabannya ada dua kemungkinan yaitu:
     Kemungkinan I :

     Perhatikan gambar!
     

     Diketahui : 
     PC = 8 cm
     PA = 6 cm
     PB = 10 cm 

     Pada gambar persegi panjang ABCD, kita lihat
     ∠ APB, ∠ BPC, ∠ CPD dan ∠ APD tidak ada yang siku-siku.
     Jadi Δ CPD dan Δ APB tidak bisa kita pythagoraskan langsung.

     Kita tarik garis merah yang tegak lurus melalui titik P agar terbentuk segitiga 
     siku-siku, karena syarat pythagoras adalah salah satu sudut pada segitiga 
     haruslah siku-siku dan kedua sisi tegak lurus.

     Ada 4 garis diagonal yang terdiri dari 4 segitiga siku-siku 

     Keempat diagonal tersebut kita masukan kedalam rumus pythagoras yaitu 
     c² = a² + b², maka PD² = b² + c²

     PA² = a² + b²
     6² = a² + b²
     b² = 6² – a²

     PB² = a² + d²
     10² = a² + d²
     d² = 10² – a²

     PC² = c² + d²
     8² = c² + d²
     c² = 8² – d²

     PD² = b² + c²
     PD² = (6² – a²) + (8² – d²)
     PD² = 6² – a² + 8² – (10² – a²)
     PD² = 6² – a² + 8² – 10² + a²
     PD² =  6² + 8² – 10²
     PD² = 36 + 64 – 100
     PD² = 100 – 100
     PD = 0

     Kemungkinan II :

     Perhatikan gambar!
     

     Diketahui : 
     PC = 10 cm
     PA = 6 cm
     PB = 8 cm 
     Ditanyakan : 
     PD = … ?
     Jawab :
     PA² = a² + b²
     6² = a² + b²
     b² = 6² – a²
     PB² = a² + d²
     8² = a² + d²
     d² = 8² – a²
     PC² = c² + d²
     10² = c² + d²
     c² = 10² – d²
     PD² = b² + c²
     PD² = (6² – a²) + (10² – d²)
     PD² = 6² – a² + 10² – (8² – a²)
     PD² = 6² – a² + 10² – 8² + a²
     PD² =  6² + 10² – 8²
     PD² = 36 + 100 – 64
     PD² = 136 – 64
     PD² = 72
     PD = √72
     PD = 6√2 cm 
     Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm
     CARA CEPAT :
     PD² + PB² = PA² + PC²
     PD² + 8² = 6² + 10²
     PD² = 6² + 10² – 8²
     PD² = 36 + 100 – 64
     PD² = 136 – 64
     PD² = 72
     PD = √72
     PD = 6√2 cm
     Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm
Selamat belajar, semoga bermanfaat.