SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KELAS 8 SEMESTER 2 LATIHAN 6.3 HALAMAN 31 TAHUN 2021
1. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang membentuk segitiga
siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul?
a. 13, 9, 11
b. 8, 17 ,15
c. 130, 120, 50
d. 12, 16, 5
e. 10, 20, 24
f. 18, 22, 12
g. 1,73; 2,23; 1,41
h. 12, 36, 35
Sebelum ke pembahasan kita lihat dulu ringkasaan materinya sebagai berikut,
Dengan berdasarkan teorama pythagoras kita bisa menentukan jenis segitiga.
Untuk menentukan sebuah segitiga harus memenuhi syarat yaitu → a + b > c.
Gambar jenis segitiga bisa dilihat di bawah ini.
Dalam Δ ABC, apabila a, b, dan c adalah sisi-sisi di hadapan sudut A, B, dan C,
maka berlaku kebalikan teorama Pythagoras, yaitu :
– Jika a² = b² + c² , maka Δ ABC adalah segitiga siku-siku di ∠ A
– Jika a² < b² + c² , maka Δ ABC adalah segitiga lancip di ∠ A
Sisi a terletak dihadapan ∠ A
– Jika b² < a² + c², maka Δ ABC adalah segitiga lancip di ∠ B
Sisi b terletak di hadapan ∠ B
– Jika a² > b² + c², maka Δ ABC adalah segitiga tumpul di ∠ A
Sisi a terletak di hadapan ∠ A
Pembahasan:
Untuk menentukan jenis segtiga kita kuadrat sisi terpanjang di ruas kiri dan
ruas kanan merupakan jumlah kuadrat dua sisi yg lain
a. 13, 9, 11
13² < 9² + 11²
169 < 81 + 121
169 < 202
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c² .
b. 8, 17, 15
17² = 8² + 15²
289 = 64 + 225
289 = 289
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku, karena a² = b² + c²
c. 130, 120, 50
130² = 120² + 50²
16900 = 14400 + 2500
16900 = 16900
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku, karena a² = b² + c²
d. 12, 16, 5
16² > 12² + 5²
256 > 144 + 25
256 > 169
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²
e. 10, 20, 24
24² > 20² + 10²
576 > 400 + 100
576 > 500
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²
f. 18, 22, 12
22² > 18² + 12²
484 > 324 + 144
484 > 468
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²
g. 1,73; 2,23; 1,41
2,23² < 1,73² + 1,41²
4,9729 < 2,9929 + 1,9881
4,9729 < 4,981
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c²
h. 12, 36, 35
36² < 12² + 35²
1296 < 144 + 1225
1296 < 1369
Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c²
2. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang merupakan tripel
Pythagoras?
a. 10, 12, 14
b. 7, 13, 11
c. 6 , 2 ½ , 6 ½
Sebelum ke pembahasan kita lihat dulu ringkasaan materinya sebagai berikut,
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah sudut nya siku-siku atau 90°.
Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Phytagoras, yaitu kuadrat dari sisi
miring/hypotenusa adalah jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya.
a² +b² = c² dimna c adalah sisi miring/hypotenusa
Sisi miring/hypotenusa adalah sisi terpanjang pada sebuah segitiga siku-siku
dan letaknya di depan sudut siku-siku nya. Tripel phytagoras adalah ukuran
tiga sisi segitiga yang memenuhi teorema phytagoras.
Pada soal no 2 kita akan mengecek apakah kelompok 3 bilangan yang diberikan
merupakan tripel phytagoras atau bukan dengan menggunakan teorema
Phytagoras.
Pembahasan:
a. 10, 12, 14
10² + 12² … 14²
100 + 144 … 196
244 > 196
Jadi bukan tripel phytagoras
b. 7, 13, 11
7² + 11² … 13²
49 + 121 … 169
170 > 169
Jadi bukan tripel phytagoras
3. Tentukan apakah ΔKLM dengan titik K(6, −6), L(39, −12), dan M(24, 18)
adalah segitiga sebarang, segitiga sama kaki, atau segitiga sama sisi. Jelaskan
jawaban kalian.
Pembahasan :
Diketahui segitiga KLM dengan titik sudut
Titik K (6,-6)
Titik L (39,-12)
Titik M (24,18)
Ditanya bentuk segitiga apa ?
Jawab:
Kita cari panjang sisi-sisinya terlebih dahulu, dengan menggunakan rumus
Pythagoras sebagai berikut,
c = √(a² + b²)
Dengan C sisi terpanjang (sisi miring/hipotenusa)
Kita cari panjang KL
KL = √{(y2 – y1)² + (x2 – x1)²}
KL = √{(-12-(-6))² + (39 – 6)²}
KL = √{(-6)² + 33²}
KL = √(36 + 1089)
KL = √1125
KL = 33,5 satuan
Panjang KM
KM = √{(y2 – y1)² + (x2 – x1)²}
KM = √{(18-(-6)² + (24-6)²}
KM = √(24² + 18²)
KM = √(576 + 324)
KM = √900
KM = 30 satuan
Panjang LM
LM = √{(y2 – y1)² + (x2 – x1)²}
LM = √{(18-(-12)² + (24-39)²}
LM = √{30² + (-15)²}
LM = √(900 + 225)
LM = √1125
LM = 33,5 satuan
Jika dilihat dari panjang sisi-sisinya dapat kita simpulkan bahwa segitiga
KLM adalah segitiga sama kaki.
4. Jika 32, x, 68 adalah tripel Pythagoras. Berapakah nilai x? Tunjukkan
bagaimana kalian mendapatkannya.
Pembahasan:
Diketahui panjang sisi-sisi suatu segitiga, yaitu
a = 32, b = x, dan c = 68.
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
a² + b² = c²
⇔ 32² + x² = 68²
⇔ x² = 68² – 32²
⇔ x² = 4.624 – 1.024
⇔ x² = 3.600
⇔ x = √3.600
⇔ x = 60
Jadi, jika 32, x, 68 adalah Tripel Pythagoras, maka x adalah 60.
5. Bilangan terkecil dari tripel Pythagoras adalah 33. Tentukan tripel Pythagoras.
Jelaskan bagaimana kalian menemukan dua bilangan lainnya.
Pembahasan:
Diketahu bilangan terkecil tripel pythagoras adalah 33
Karena bilangan terkecil adalah kelipatan 3, maka dapat dibandingkan dengan
bilangan tripel pythagoras dengan bilangan terkecil 3.
Telah diketahui bahwa (3,4,5) adalah bilangan tripel pythagoras sehingga untuk
setiap x bilangan bulat positif, bilangan-bilangan (3x,4x,5x) juga merupakan
tripel pythagoras.
Jadi
a = 3(11) = 33
b = 4(11) = 44
c = 5(11) = 55
Jadi dua bilangan lainnya adalah 44 dan 55.
6. Bingkai jendela yang terlihat berbentuk persegi panjang dengan tinggi 408 cm,
panjang 306 cm, dan panjang salah satu diagonalnya 525 cm. Apakah bingkai
jendela tersebut benar-benar persegi panjang? Jelaskan.
Pembahasan:
Diketahui:
Tinggi = 408 cm
Panjang = 306 cm
Diagonal = 525 cm
Ditanyakan:
Apakah bingkai jendela tersebut benar-benar persegi panjang?
Jawab:
Karena sudut pada persegi panjang adalah siku-siku, maka untuk menentukan
diagonal dalam persegi panjang berlaku teorema Pythagoras yaitu:
Ternyata, pernyataan tersebut tidak terpenuhi. Maka sudut pada bingkai jendela
tersebut tidak siku-siku. Padahal semua sudut pada persegi panjang seharusnya
siku-siku.
Jadi, bingkai jendela tersebut sebenarnya bukan berbentuk persegi panjang.
Bingkai jendela tidak benar-benar peregi panjang.
4082 + 3062 ≠ 5252
7. Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa
ketiga ukuran tersebut bukan merupakan tripel Pythagoras.
a. Jika (p – q), p, (p + q) membentuk tripel Pythagoras, tentukan hubungan
antara p dan q.
b. Jika p = 8, tentukan tripel Pythagoras.
Pembahasan:
Misalkan panjang ketiga sisi segitiga adalah a = 1 cm, b = 2a cm, dan c = 3a cm,
akan diuji dengan menggunakan teorema Pythagoras seperti berikut.
a² + b² = c²
1² + (2a)² = (3a)²
1 + 4a² ≠ 9a²
a. Jika (p – q), p, (p + q) membentuk tripel Pythagoras, maka sisi terpanjang
(hipotenusa) adalah p + q. Sehingga, hubungan p dan q adalah seperti
berikut.
b. Jika p = 8, berarti q = 2, sehingga tripel Pythagoras adalah p – q = 8 – 2 = 6,
p + q = 8 + 2 = 10.
Sebelumnya harus diuji terlebih dahulu apakah 6, 8, 10 apakah benarbenar
tripel Pythagoras.
6² + 8² = 10²
8. Perhatikan ΔABC berikut ini. BD = 4 cm, AD = 8 cm, dan CD = 16 cm.
a. Tentukan panjang AC.
b. Tentukan panjang AB.
c. Apakah ΔABC adalah segitiga siku-siku? Jelaskan.
Pembahasan:
a. Menentukan panjang AC.
b. Menentukan panjang AB
c. Segitiga ABC memiliki ukuran AB = 4√5 cm , AC = 8√5 cm, dan BC = 20 cm.
Sehingga, untuk menguji apakah segitiga ABC adalah siku-siku atau bukan,
maka diuji seperti berikut.
9. Diketahui persegi panjang ABCD. Terdapat titik P sedemikian sehingga PC
= 8 cm, PA = 6 cm, dan PB = 10 cm. Dapatkah kalian menentukan jarak titik
P ke D? Bagaimana kalian menemukannya?
Pembahasan:
Jawabannya ada dua kemungkinan yaitu:
Kemungkinan I :
Perhatikan gambar!
Diketahui :
PC = 8 cm
PA = 6 cm
PB = 10 cm
Pada gambar persegi panjang ABCD, kita lihat
∠ APB, ∠ BPC, ∠ CPD dan ∠ APD tidak ada yang siku-siku.
Jadi Δ CPD dan Δ APB tidak bisa kita pythagoraskan langsung.
Kita tarik garis merah yang tegak lurus melalui titik P agar terbentuk segitiga
siku-siku, karena syarat pythagoras adalah salah satu sudut pada segitiga
haruslah siku-siku dan kedua sisi tegak lurus.
Ada 4 garis diagonal yang terdiri dari 4 segitiga siku-siku
Keempat diagonal tersebut kita masukan kedalam rumus pythagoras yaitu
c² = a² + b², maka PD² = b² + c²
PA² = a² + b²
6² = a² + b²
b² = 6² – a²
PB² = a² + d²
10² = a² + d²
d² = 10² – a²
PC² = c² + d²
8² = c² + d²
c² = 8² – d²
PD² = b² + c²
PD² = (6² – a²) + (8² – d²)
PD² = 6² – a² + 8² – (10² – a²)
PD² = 6² – a² + 8² – 10² + a²
PD² = 6² + 8² – 10²
PD² = 36 + 64 – 100
PD² = 100 – 100
PD = 0
Kemungkinan II :
Perhatikan gambar!
Diketahui :
PC = 10 cm
PA = 6 cm
PB = 8 cm
Ditanyakan :
PD = … ?
Jawab :
PA² = a² + b²
6² = a² + b²
b² = 6² – a²
PB² = a² + d²
8² = a² + d²
d² = 8² – a²
PC² = c² + d²
10² = c² + d²
c² = 10² – d²
PD² = b² + c²
PD² = (6² – a²) + (10² – d²)
PD² = 6² – a² + 10² – (8² – a²)
PD² = 6² – a² + 10² – 8² + a²
PD² = 6² + 10² – 8²
PD² = 36 + 100 – 64
PD² = 136 – 64
PD² = 72
PD = √72
PD = 6√2 cm
Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm
CARA CEPAT :
PD² + PB² = PA² + PC²
PD² + 8² = 6² + 10²
PD² = 6² + 10² – 8²
PD² = 36 + 100 – 64
PD² = 136 – 64
PD² = 72
PD = √72
PD = 6√2 cm
Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm
Selamat belajar, semoga bermanfaat.
