Jawaban Uji Kompetensi 2.2 Matematika SMA Kelas 10 Hal 67

1. Tiga tukang cat joni, deni, dan ari bekerja secara bersama – sama dapat mengecat eksterior sebuah rmh dlm waktu 10 jam. pengalaman deni dan ari pernah bersama sama mengecat rumah yg serupa dlm 15 jam kerja. suatu hari, ketiganya bekerja mengecat rmh serupa ini selama 4 jam kerja, setelah itu ari pergi karena ada keperluan mendadak. joni dan deni memerlukan tambahan waktu 8 jam kerja lg untk menyelesaikan pengecatan rmh. Tentukan waktu yg dibutuhkan tiap tiap tukang, jika bekerja sendirian!

1/j + 1/d + 1/a = 1/10 

1/d + 1/a = 1/15 

——————— (-) 

1/j = 1/30 –> j = 30 jam –> waktu yang dibutuhkan joni jika bekerja sendirian 

setelah bekerja 4 jam, mereka bertiga sudah menyelesaikan 4/10 pekerjaan, tinggal 6/10 bagian lagi yang diselesaikan oleh joni dan deni dalam waktu 8 jam. berarti kalau joni dan deni mengerjakan seluruh rumah, mereka membutuhkan waktu 10/6 x 8 = 40/3 jam. 

1/j + 1/d = 3/40 

1/30 + 1/d = 3/40 

1/d = 5/120 — d = 24 jam 

1/d + 1/a = 1/15 

1/24 + 1/a = 1/15 

1/a = 3/120 –> a = 40 jam 

HP : (j, d, a) = (30, 24, 40) 

2. Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka yang jumlahnya 9. angka satuannya tiga lebih daripada angka puluhan. jika angka ratusan dan angka puluhan ditukar letaknya, diperoleh bilangan yang sama. tentukan bilangan tersebut

Ilustrasikan,
a+b+c = 9
c = a+3
a = b,
Maka,
a + a + a+3 = 9
3a + 3 = 9
3a = 6
a = 2
Dan ingat a=b
Maka,
b = 2
Dan satu lagi, c = a+3
c = 2+3
c = 5
Maka bilangan tersebut adalah 225

3. Sebuah pabrik memiliki 3 buah mesin A , B, C,. jika ketiganya bekerja 5.700 lensa yang dapat dihasilkan dalasm satu minngu. jika hanya mesin A dan B bekerja , 3.400 lensa yang dihasilkan dalam satu minggu . jika hanya mesin A DAN C yang bekerja . 4.200 lensa yang dapat dihasilkan dalam 1 minggu. Berapa banyak lensa yang banyak dihasilkan oleh tiap tiap mesin dalam satu minngu?

A + B + C = 5700

* A + B = 3400

        B  = 3400 – A

* A + C = 4200

        C = 4200 – A

# A + B + C = 5700

  A + (3400 – A) + (4200 – A) = 5700

  A – A – A + 3400 + 4200 = 5700

  7600 – 5700 = A

  A = 1900

# B  = 3400 – A

   B  = 3400 – 1900

   B = 1500

# C = 4200 – A

  C = 4200 – 1900

  C = 2300

4. Selesaikan sistem persamaan yang diketahui dan tentukan nilai yang dicari :

x,y,z adalah penyelesaian dari sistem persamaan

3x + 4y – 5z = 12

2x + 5y – z = 17

6x + 2y – 3z = 17

Tentukan nilai x^2 + y^2 + z^2 ?

X,y dan z adalah penyelesaian sistem persamaan. x+2y=-4 2x+z=5 y-3z=-6 tentukan nilai x,y dan Z ?

3x+4y-5z=12 (1)

2x+5y- z=17  (2)

6x+2y-3z=17 (3)

(1) & (2) kita eliminasi z

3x+4y-5z=12 |x1|  3x+4y-5z=12

2x+5y-z=17   |x5| 10x+25y-5z=85

                            ______________-

                             7x-21y=-73 (4)

(2) & (3) kita eliminasi z

2x+5y-z=17   |x3| 6x+15y-3z=51

6x+2y-3z=17 |x1|  6x+2y-3z=17

                            ____________-

                                   13y=34 ⇒y=34/13

y kita substitusikan ke (4) diperoleh

7x-21y=-73 ⇒ 7x-21(34/13)=-73 ⇒ 7x-714/13=-73 ⇒7x=-73+714/13 ⇒7x=(-949+714)/13 ⇒ 7x=-235/13 ⇒ x=-235/91

x dan y kita substitusikan ke (2) diperoleh

2x+5y-z=17 ⇒ z=2x+5y-17 ⇒z=2(-235/91)+5(34/13)-17 ⇒z=-470/91+1190/91-1547/91 ⇒ z=-827/91

x²+y²+z²=(-235/91)²+(34/13)²+(-827/91)²

Silahkan dihitung sendiri ya.

b. X + 2y = – 4

2x + z = 5 –> z = -2x + 5

y – 3z = – 6

y – 3(-2x + 5) = -6

y + 6x – 15 = -6

y + 6x = 15 – 6

6x + y = 9

x + 2y = -4 |×1| x + 2y = -4

6x + y = 9 |×2| 12x + 2y = 18

————————————(-)

– 11x = – 22

x = 2

x + 2y = – 4

2 + 2y = – 4

2y = – 4 – 2

2y = – 6

y = – 3

z = – 2x + 5

z = – 2 . 2 + 5

z = – 4 + 5

z = 1

x . y . z = 2 . (-3) . 1 = (-6)

5. Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Tentukan syarat yang harus dipenuhi sistem supaya memiliki penyelesaian tunggal, memiliki banyak penyelesaian, dan tidak memiliki penyelesaian.

Penjelasan syarat suatu SPLTV memiliki penyelesaian lebih kompleks daripada SPLDV.

kita tidak bisa langsung meninjau dari hubungan antar-koefisien atau konstantanya.

Secara geometris suatu persamaan linear tiga variabel membentuk sebuah bidang pada ruang berdimensi tiga.

Agar suatu SPLTV memiliki solusi tunggal, maka ketiga persamaan harus membentuk bidang-bidang yang saling berpotongan tepat di satu titik.

Agar suatu SPLTV memiliki banyak solusi, maka ketiga persamaan harus membentuk bidang-bidang yang berpotongan pada satu garis, atau ketiga persamaan membentuk tiga bidang yang berimpit.

Suatu SPLTV dapat tidak memiliki solusi pada beberapa kondisi, misalnya ada dua persamaan yang membentuk dua bidang sejajar, atau bidang-bidang yang terbentuk tidak memiliki irisan yang berbeda-beda.

Dengan menggunakan matriks, suatu SPLTV akan mempunyai solusi tunggal jika matriks yang terbentuk memiliki invers, dan akan mempunyai banyak solusi atau tidak mempunyai solusi jika matriks tersebut tidak memiliki invers.

Yang paling sederhana yang dapat terlihat adalah:

– jika salah satu persamaan merupakan kelipatan dari persamaan lain, maka SPLTV akan memiliki banyak solusi.

– jika ketiga persamaan bukan merupakan kelipatan dari persamaan lain, atau ketiga persamaan berbeda, maka SPLTV memiliki solusi tunggal.

6. Setiap simbol pada gambar diatas mewakili sebuah bilangan jumlah bilangan pada setiap baris terdapat di kolom kanan dan jumlah bilangan setiap kolom terdapat di garis bawah Tentukan bilangan pengganti tanda tanya

Bintang 4 = a

bintang 5 = b

matahari = c

3a + b = 131 => 6a + 2b = 262

2a + 2b = 132

————————————– –

4a = 130

a = 130/4

a = 32,5

3a + b = 131

3×32,5 + b = 131

b = 131 – 97,5

b = 33,5

a + b + 2c = 159

32,5 + 33,5 + 2c = 159

2c = 159 – 32,5 – 33,5

2c = 93

c = 46,5

a + 2b + c = 32,5 + 2×33,5 + 46,5 = 32,5 + 67 + 46,5 = 146

7. Trisna bersama ayahnya dan kakeknya sedang memanen tomat di ladang mereka. Pekerjaan memanen tomat itu dapat diselesaikan mereka dalam waktu 4 jam. Jika Trisna bersama kakeknya bekerja bersama-sama, hanya dapat menyelesaikan pekerjaan itu dalam waktu 6 jam. Jika ayahnya dan kakeknya menyelesaikan pekerjaan tersebut, maka akan selesai dalam waktu 8 jam. Berapa waktu yang diperlukan Trisna, ayahnya, dan kakeknya untuk menyelesaikan panenan tersebut, jika mereka bekerja masing-masing?

trisna = a

ayah = b

kakek = c

..

1/a+ 1/b + 1/c = 1/4…(1)

1/a +1/c = 1/6 …………(2)

1/b+1/c = 1/8…………..(3)

..

(1) – (2) —>; 1/b = 1/4 -1/6 = 1/12 –> b = 12

(2) – (3) —>; 1/a – 1/b = 1/6 – 1/ 8= 1/24

1/a = 1/24 + 1/b —> 1/a = 1/8 —>a = 8

1/c = 1/8 – 1/b —> 1/c = 1/12—-> c = 12

Trisna sendiri = 8 jam

Ayah = 12 jam

Kakek= 12jam

.

2) bil itu  x dan y

y = 6(x-1) 

y = x^2 + 3

.

x^2 + 3 = 6(x-1)

x^2 – 6x + 9 = 0

(x-3)^2= 0

x = 3 –> y= 3^2 + 3 = 12

8. Diketahui dua bilangan dimana bilangan kedua sama dengan enam kali bilangan pertama setelah dikurangi satu.bilangan kedua juga sama dengan bilangan pertama dikuadratkan dan ditambah tiga.carilah kedua bilangan tersebut?

Bilangan Pertama => A
Bilangan Kedua => B

B=6(A-1)
B=6A-6

B=A²+3

A²+3=6A-6
A²-6A+9=0
(A-3)(A-3)=0
A₁=3. A₂=3
Maka, A=3

B=A²+3
B=3²+3
B=12
MAKA, KEDUA BILANGAN TERSEBUT ADALAH 3 DAN 12

Seorang pengusaha memiliki modal sebesar Rp 420.000.00,00 dan membaginya dalam tiga bentuk investasi, yaitu:

tabungan dengan suku bunga 5%

deposito berjangka dengan suku bunga 7%

surat obligasi dengan pembayaran 9%.

Misalkan:

besar investasi tabungan = x

besar investasi deposito = y

besar investasi obligasi = z

x + y + z = 420.000.000

Adapun total pendapatan tahunan dari ketiga investasi sebesar Rp 26.000.000,00

5%x + 7%y + 9%z = 26.000.000

↔ 0,05x + 0,07y + 0,09z = 26.000.000

Pendapatan dari investasi tabungan kurang Rp 2.000.000,00 dari total pendapatan dua investasi lainnya.

5%x = 7%y + 9%z – 2.000.000 

↔ 0,05x – 0,07y – 0,09z = -2.000.000

Akan ditentukan besar modal untuk setiap investasi tersebut.

Dari soal cerita di atas kita peroleh sistem persamaan:

x + y + z = 420.000.000                                    (1)

0,05x + 0,07y + 0,09z = 26.000.000             (2)

0,05x – 0,07y – 0,09z = -2.000.000              (3)

Eliminasi y dan z dari (2) dan (3).

0,05x + 0,07y + 0,09z = 26.000.000

0,05x – 0,07y – 0,09z = -2.000.000

————————————————–  +

0,1x = 24.000.000

↔ x = 240.000.000

Substitusikan nilai x ke (1) dan (2)

240.000.000 + y + z = 420.000.000 

↔ y + z = 180.000.000                   (4)

0,05(240.000.000) + 0,07y + 0,09z = 26.000.000

↔ 12.000.000 + 0,07y + 0,09z = 26.000.000

↔ 0,07y + 0,09z = 14.000.000     (5)

Eliminasi y dari (4) dan (5).

y + z = 180.000.000                   |×0,07|  0,07y + 0,07z = 12.600.000

0,07y + 0,09z = 14.000.000    |×1|       0,07y + 0,09z = 14.000.000

                                                                —————————————- –

                                                                                  -0,02z = -1.400.000

                                                                           ↔  z = 70.000.000

Substitusikan nilai z ke (4).

y + 70.000.000 = 180.000.000

↔ y = 110.000.000

Jadi, besar investasi tabungan = Rp 240.000.000,

besar investasi deposito = Rp 110.000.000,

dan besar investasi obligasi = Rp 70.000.000.

10. Suatu tempat parkir dipenuhi 3 jenis kendaraan yaitu sepeda motor, mobil, dan mobil van. Luas parkir mobil van adl 5x luas parkir sepeda motor sedangkan 3x luas parkir utk mobil sama dgn luas parkir utk mobil van dan sepeda motor. Jika tmpt parkir penuh dan bnyk kendaraan yg terparkir sebanyak 180, hitung bnyk setiap kendaraan yg parkir

Misal

Sepeda Motor = x

Mobil                = y

mobil van          = z

x + y + z = 180

z = 5x

3y = x + z

z = 5x

x + y + 5x = 180

6x + y = 180

3y = x + 5x

3y = 6x

3y + y =180

4y = 180

y = 45

6x = 3y

6x = 3(45)

x = 135/6

x = 22,5 (dibulatkan menjadi 23)

23 + 45 + z = 180

 z =180 – 68

z = 112

Sepeda Motor = 23 buah

Mobil                 = 45 buah

Mobil Van         = 112