Uji Kompetensi 3.1 Fungsi
1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. tahap pertama dengan menggunakan mesin 1 yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi dan tahap kedua dengan menggunakan mesin 2 yang menghasilkan bahan kertas.
dalam produksinya mesin 1 menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f (x)= 0,7 x + 10 dan pada mesin 2 terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g(x) = 0,02x^2 + 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton.
dalam produksinya mesin 1 menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f (x)= 0,7 x + 10 dan pada mesin 2 terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g(x) = 0,02x^2 + 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton.
A. jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan ?(dalam satuan ton )
B. Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin 1 sebesar 110 ton berapa tonkah kayu yang sudah terpakai ? berapa banyak kertas yang dihasilkan
Pembahasan :
X = 50 ton bahan dasar
a. ke fungsi f(x) = 0,7x + 10
f(50) = 0,7. 50 + 10 = 35 +10 = 45 ton (bahan setengah jadi)
ke fungsi g(x) = 0,02x^2 + 12x
g(45) = 0,02. 45^2 + 12(45)
= 40,5 + 540 = 580.5 ton kertas
b. f (x)= 0,7 x + 10
10 y = 7x + 100
x = (10y -100)/ 7
f⁻¹ (x) = (10x -100)/ 7
f⁻¹ (110) = (10 . 110 – 100)/ 10 = (1100 -100)/7 = 1000/7 = 142,86 ton kayu
menghasilkan
g(x) = 0,02x^2 + 12x
= 0,02(142,86)² + 12 (142,86)
= 0,02 . 20408.9796 + 1714.32 =408.179592 + 1714.32 = 2122.499592 ton kertas
2. Diketahui fungsi f(x)=x-3/x , x tidak sama dengan 0 dan g(x)= akar x kuadrat – 9. tentukan rumus fungsi berikut apabila terdefinisi dan tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. f+g , f-g , fxg , f/g
Pembahasan :
Jika f dan g adalah dua buah fungsi yang diketahui maka jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi kedua fungsi tersebut adalah
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x).
Domain atau daerah asal, kodomain atau daerah kawan, dan range atau daerah hasil.
Mari kita lihat soal tersebut.
Diketahui fungsi f(x) = (x – 3)/x, x ≠ 0 dan g(x) = √(x² – 9).
(f + g)(x)
= f(x) + g(x)
= (x – 3)/x + √(x² – 9)
= (x – 3)/x + x√(x² – 9)/x
= [(x – 3) + x√(x² – 9)]/x
Domainnya D(f + g) = {x|x ≠ 0, x ∈R}
Rangenya R(f + g) = {y| y ∈ R}
(f – g)(x)
= f(x) – g(x)
= (x – 3)/x – √(x² – 9)
= (x – 3)/x – x√(x² – 9)/x
= [(x – 3) – x√(x² – 9)]/x
Domainnya D(f – g) = {x|x ≠ 0, x ∈R}
Rangenya R(f – g) = {y| y ∈ R}
(f . g)(x)
= f(x) . g(x)
= (x – 3)/x . √(x² – 9)
= [(x – 3)√(x² – 9)]/x
Domainnya D(f . g) = {x|x ≠ 0, x ∈R}
Rangenya R(f .g) = {y| y ∈ R}
(f / g)(x)
= f(x) / g(x)
= [(x – 3)/x] / √(x² – 9)
= (x – 3)/[x√(x² – 9)]
Domainnya D(f / g) = {x|x ≠ 0, x ∈R}
Rangenya R(f / g) = {y| y ∈ R}
3. Misalkan f fungsi yang memenuhi untuk f(1/x)+1/x f(-x) = 2x setiap x tidak sama dengan 0. tentukan nilai f(2) !
Pembahasan :
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B yang dinotasikan dengan f : A → B.
Himpunan A dinamakan daerah asal (domain), himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain).
Jika f memetakan x ∈ A ke y ∈B, maka dikatakan y peta dari x dan dinotasikan dengan f : x → y atau y = f(x).
Himpunan y ∈ B yang merupakan peta dari x ∈ A dinamakan daerah hasil (range).
Mari kita lihat soal tersebut.
Misalkan fungsi f memenuhi f() + × f(-x) = 2x, setiap x ≠ 0, maka tentukan nilai f(2)!
Jadi, nilai f(2) sama dengan .
4. Diketahui fungsi f: R -> R dengan f(x) = x2-4x+2 dan fungsi g: R ->R dengan g(x) = 3x-7
ditanya
a. (g°f) (x)
b. (f°g) (x)
c. (g°f) (5)
d. (f°g) (10)
ditanya
a. (g°f) (x)
b. (f°g) (x)
c. (g°f) (5)
d. (f°g) (10)
Pembahasan :
A. (gof)(x) = 3(f(x)) – 7
= 3(x² – 4x + 2) – 7
= 3x² – 12x + 6 – 7
= 3x² -12x – 1
c. (gof)(5) = 3(5)² – 12(5) – 1
= 3(25) – 60 – 1
= 75 – 61
= 14
b. (fog)(x) = (g(x))² – 4(g(x) + 2
= (3x – 7)² – 4(3x – 7) + 2
= 9x² -42x + 49 -12x + 28 + 2
= 9x² – 54x + 79
d. (fog)(10) = 9(10)² – 45(10) + 79
= 9(100) – 450 + 79
= 900 – 371
= 529
5. Jika f(xy)= f(x+y) dan f(7)=7. tentukanlah nilai f(49)
Pembahasan:
f (xy) = f (x + y)
f (7) = 7
f (49) = f (7 .7)
= f (7 + 7)
= f (7 . 2)
= f (7 + 2)
= f (3 . 3)
= f (3 + 3)
= f (6)
= f (6 + 1)
= f (7)
= 7
6. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan berurut
f = {(1,5) (2,6) (3,-1) (4,8)}
g = {(2,-1) (1,2) (5,3) (6,7)}
tentukanlah
a. (g°f) (x)
b. (f°g) (x)
f = {(1,5) (2,6) (3,-1) (4,8)}
g = {(2,-1) (1,2) (5,3) (6,7)}
tentukanlah
a. (g°f) (x)
b. (f°g) (x)
Pembahasan:
Jika f dan q merupakan dua buah fungsi sedemikian sehingga f : A → B dan g : B → C, maka komposisi fungsi gof : A → C ditentukan oleh rumus
(gof)(x) = g(f(x)) dengan x ∈ A.
Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi gof bila Rf ∩ Dg ≠ ∅.
Mari kita lihat soal tersebut.
Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan berurutan
f = {(1, 5) (2, 6) (3, -1) (4, 8)}
g = {(2, -1) (1, 2) (5, 3) (6, 7)}
tentukan
a. (gof) (x)
b. (fog) (x)
Jawab :
a. (gof)((x) = g(f(x))
g(f(1)) = g(5) = 3
g(f(2)) = g(6) = 7
g(f(3)) = g(-1) = tidak ada
g(f(4)) = g(8) = tidak ada
Silakan lihat lampiran 1.
b. (fog)(x) = f(g(x))
f(g(1)) = f(2) = 6
f(g(2)) = f(-1) = tidak ada
f(g(5)) = f(3) = -1
f(g(6)) = f(7) = tidak ada
7. Jika fungsi yang memenuhi persamaan f(1)=4 dan f(x+1)=2 f(x) . tentukan f(2014) ?
Pembahasan:
Amati pergerakannya,
f(1) = 4 = 2^2
Untuk f(2) = f(1+1)
f(2) = 2f(1)
f(2) = 2.4 = 8 = 2^3
Sama halnya dengan f(3) dan seterusnya,
f(3) = 2f(2) = 8.2 = 16 = 2^4
……
f(n) = 2^(n+1)
Sehingga,
f(2014) = 2^(2014+1)
f(2014) = 2^2015
8. Jika f(x) =x+1/x-1 dan x² ≠1,buktikan lah bahwa f(-x)=1/f(x)!
Pembahasan:
F(x)=(x+1)/(x-1)
f(-x)=(-x+1)/(-x-1)
f(-x)=-1(x-1)/-1(x+1)
f(-x)=(x-1)/(x+1)
f(-x)=1/((x+1)/(x-1))
f(-x)=1/f(x)
f(-x)=(-x+1)/(-x-1)
f(-x)=-1(x-1)/-1(x+1)
f(-x)=(x-1)/(x+1)
f(-x)=1/((x+1)/(x-1))
f(-x)=1/f(x)
9. Untuk pasangan fungsi yang di berikan tentukanlah daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi gof.
a) f(x) = 2x dan g(x) =sin x
b) f(x) = -x dan g(x) = sin x
c) f(x) = 1/x dan g(x) = 2 sin x
Pembahasan:
A. gof(x)=g(f(x))
=g(2x)=sin 2x
b. gof(x)=g(f(x))
=g(-x)=sin -x =- sin x
c. gof(x)=g(f(x))
=g(1/x)=2 sin 1/x
=g(2x)=sin 2x
b. gof(x)=g(f(x))
=g(-x)=sin -x =- sin x
c. gof(x)=g(f(x))
=g(1/x)=2 sin 1/x
10. Diket (g o f)(x)=4×2+4x dan g(x)=x2-1 maka nilai f(x-2)
Pembahasan:
G(f(x)) = 4x^2 + 4x
g(x) = x^2 – 1
g(f(x)) = (f(x))^2 – 1
4x^2 + 4x = (f(x))^2 – 1
4x^2 + 4x + 1 = (f(x))^2
(2x + 1)^2 = (f(x))^2
maka f(x) = akar (2x + 1)^2
f(x) = I 2x+1 I
jadi f(x-2) = I 2(x-2) + 1I
= I 2x – 3 I