Uji Kompetensi 2.1 SPLTV
1. apakah persamaan – persamaan dibawah ini membentuk sistem oersamaan linear tiga variabel? berikan alasan atas jawabanmu!
a. 2x + 5y + 2z = 7 ; 2 x – 4y + 3z = 3
b. x – 2y + 3z = 0 ; y=1 dan x + 5z = 8
a. 2x + 5y + 2z = 7 ; 2 x – 4y + 3z = 3
b. x – 2y + 3z = 0 ; y=1 dan x + 5z = 8
Pembahasan:
Persamaan berbentuk
ax + by + cz = p
dinamakan persamaan linear dengan tiga variabel.
Sekelompok persamaan berbentuk
a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z = p,
a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z = q,
a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z = r,
dinamakan sistem persamaan linear dengan tiga variabel dengan a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃ dinamakan koefisien-koefisien dari variabel-variabel x, y, dan z, serta p, q, dan r dinamakan konstanta.
a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, dan a₃₃ ≠ 0 serta a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃, p, q, dan r ∈R.
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah menentukan pasangan terurut (x₀, y₀, z₀) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel.
Metode penyelesaiannya ada 3, yaitu :
1. eliminasi
2. substitusi
3. gabungan eliminasi dan substitusi.
Mari kita lihat soal tersebut.
Apakah oersamaan-persamaan di bawah ini membentuk sistem persamaan linear tiga variabel?
a. 2x + 5y + 2z = 7
2x – 4y + 3z = 3
b. x – 2y + 3z = 0
y = 1
x + 5z = 8
Jawab :
a. Persamaan-persamaan
2x + 5y + 2z = 7 … (1)
2x – 4y + 3z = 3 … (2)
membentuk sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z.
Penyelesaiannya diperoleh dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi.
Pertama, persamaan (1) dan (2) kita eliminasi x, diperoleh
2x + 5y + 2z = 7
2x – 4y + 3z = 3
_____________-
⇔ 9y – z = 4
⇔ z = 9y – 4 … (3)
Selanjutnya, persamaan (3), kita substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
2x – 4y + 3z = 3
⇔ 2x = 3 + 4y – 3z
⇔ 2x = 3 + 4y – 3(9y – 4)
⇔ 2x = 3 + 4y – 27y + 12
⇔ 2x = -23y + 15
⇔ x = y +
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (y + , y, 9y – 4) dan y ∈ R.
b. Persamaan-persamaan
x – 2y + 3z = 0 … (1)
y = 1 … (2)
x + 5z = 8 … (3)
membentuk sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z.
Penyelesaiannya diperoleh dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi.
Pertama, kita substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh
x – 2y + 3z = 0
⇔ x – 2(1) + 3z = 0
⇔ x – 2 + 3z = 0
⇔ x + 3z = 2 … (4)
Selanjutnya, persamaan (3) dan (4) kita eliminasi x, diperoleh
x + 5z = 8
x + 3z = 2
________-
⇔ 2z = 6
⇔ z = 3 … (5)
Kemudian, persamaan (5) kita substitusikan ke persamaan (4), diperoleh
x + 3z = 2
⇔ x + 3(3) = 2
⇔ x + 9 = 2
⇔ x = 2 – 9
⇔ x = -7
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (-7, 1, 3).
2. Diketahui tiga buah persamaan
1/x + 1/y + 3/z=9 ; 1/x + 3/y + 1/z= 7/3; dan 3/x + 1/y + 1/z=7
a. apakah termasuk sistem persamaan linear tiga variabel?berikan alasan.
b. dapatkah kmu membentuk sistem persamaan linear dari ketiga persamaan tersebut?
tolong bantuin kak + caranya ya
1/x + 1/y + 3/z=9 ; 1/x + 3/y + 1/z= 7/3; dan 3/x + 1/y + 1/z=7
a. apakah termasuk sistem persamaan linear tiga variabel?berikan alasan.
b. dapatkah kmu membentuk sistem persamaan linear dari ketiga persamaan tersebut?
tolong bantuin kak + caranya ya
Pembahasan:
A) ya. Karena persamaan dapat di selesaikan.
b) 1/x = a
1/y = b
1/z = c
a+b+3c = 9….(1)
a+3b+c = 7/3…..(2)
3a+b+c = 7…..(3)
Pers. 1 dan 2
a+b+3c = 9
a+3b+c = 7/3
——————– –
-2b+2c = 20/3….(4)
Pers. 1 dan 3
a+b+3c = 9 |x3| 3a+3b+9c = 27
3a+b+c = 7 |x1| 3a+b+c = 7
——————– –
2b+8c = 20…(5)
Pers. 4 dan 5
-2b+2c = 20/3
2b+8c = 20
——————- +
10c = 80/3
c = 8/3
2b+8c = 20
2b+8(8/3) = 20
2b = 20- 64/3
2b = -4/3
b = -2/3
3a+b+c = 7
3a+(-2/3)+(8/3) = 7
3a + 6/3 = 7
3a + 2 = 7
3a = 7-2
a= 5/3
Coba di jumlahkan lagi hasil a, b, c. Benar ga hasilnya
3. Keliling suatu segitiga adalah 19 cm.jika sisi terpanjang adalah dua kali panjang sisi terpendek dan kurang 3cm dari jumlah sisi lainnya tentukan panjang setiap sisi segitiga tersebut
Pembahasan:
Anggaplah sisi segitiga: a, b, dan c. a yang terpanjang, c yang terpendek.
a + b + c = 19
a = 2c
a = b + c – 3; masukkan a = 2c2c = b + c – 3
c = b – 3
a + b + c = 19; masukkan a = 2c2c + b + c = 19; masukkan c = b – 32 (b – 3) + b + (b – 3) = 192b – 6 + b + b – 3 = 194b – 9 = 194b = 28b = 7 cm
c = b – 3c = 7 – 3c = 4 cm
a = 2ca = 2 x 4a = 8 cm
4. Harga tiket suatu pertunjukan adalah Rp60.000,00 untuk dewasa, Rp35.000,00 untuk pelajar, dan Rp 25.000,00 untuk anak dibawah 12 tahun. pada pertunjukan seni dan budaya telah terjual 278 tiket dengan total penerimaan Rp p130.000.000,00. jika banyak tiket untuk dewasa yang telah dijual 10 tiket lebih sedikit dari dua kali banyak tiket pelajar yang terjual. hitung banyak tiket yang terjual untuk masing-masing tiket.
Pembahasan:
Note : ralat untuk total seharusnya Rp 13.000.000,00
Tiket dewasa = x
Tiket pelajar = y
Tiket anak = z
x + y + z = 278 (i) [x25]
x = 2y – 10 (ii) [x5]
60.000x + 35.000y + 25.000z = 13.000.000 (iii) [:1000]
a) Eliminasi (iii) dengan (i)
60x + 35y + 25z = 13.000
25x + 25y + 25z = 6950
______________________ –
35x + 10y = 6050 (iv)
b) eliminasi (iv) dengan (ii)
35x + 10y = 6050
-5x + 10y = 50
______________ –
40x = 6000
x = 150
c) x = 2y – 10
160 = 2y
y = 80
d) x + y + z = 278
150 + 80 + z = 278
z = 48
Jadi, msg msg tiket yang terjual adalah dewasa = 150 , pelajar = 80, dan anak = 48
Materi PLTV
Kelas X
Note : ralat untuk total seharusnya Rp 13.000.000,00
Tiket dewasa = x
Tiket pelajar = y
Tiket anak = z
x + y + z = 278 (i) [x25]
x = 2y – 10 (ii) [x5]
60.000x + 35.000y + 25.000z = 13.000.000 (iii) [:1000]
a) Eliminasi (iii) dengan (i)
60x + 35y + 25z = 13.000
25x + 25y + 25z = 6950
______________________ –
35x + 10y = 6050 (iv)
b) eliminasi (iv) dengan (ii)
35x + 10y = 6050
-5x + 10y = 50
______________ –
40x = 6000
x = 150
c) x = 2y – 10
160 = 2y
y = 80
d) x + y + z = 278
150 + 80 + z = 278
z = 48
Jadi, msg msg tiket yang terjual adalah dewasa = 150 , pelajar = 80, dan anak = 48
5. Seekor ikan mas memiliki ekor yang panjangnya sama dengan panjang kepalanya ditambah tiga perlima panjang tubuhnya. panjang tubuhnya tiga perlima dari panjang keseluruhan ikan. jika panjang kepala ikan adalah 5 cm, berapa panjang keseluruhan ikan
Pembahasan:
Misal
x = panjang ekor
y = panjang kepala
z = panjang tubuh
s = panjang keseluruhan dengan s = x + y + z
• panjang kepala ikan adalah 5 cm
y = 5 cm
• Panjang ekor ikan sama dengan panjang kepalanya ditambah tiga perlima panjang tubuhnya
x = y + (3/5)z
• Panjang tubuhnya tiga perlima dari panjang keseluruhan ikan
z = (3/5) s
=> kedua ruas kali 5 <=
5z = 3 s
5z = 3 (x + y + z)
5z = 3x + 3y + 3z
5z – 3z = 3x + 3y
=> Substitusikan x = 5 + (3/5)z) <=
2z = 3(y + (3/5)z) + 3y
2z = 3y + (9/5)z + 3y
2z = 6y + (9/5)z
=> Kedua ruas kali 5 <=
10z = 30y + 9z
10z – 9z = 30y
z = 30y
=> substitusikan y = 5 cm <=
z = 30(5 cm)
z = 150 cm
x = y + (3/5)z
x = 5 + (3/5) × 150
x = 5 + 3 × 30
x = 5 + 90
x = 95
Jadi panjang keseluruhan ikan adalah :
s = x + y + z
s = (95 + 5 + 150) cm
s = 250 cm
6. Temukan bilangan positif yg memenuhi persamaan x+y+z =9 dan x+5y+10z=44
Pembahasan:
Diberikan persamaan-persamaan:
x + y + z = 9
x + 5y + 10z = 44
Bilangan positif yang memenuhi kedua persamaan adalah … ?
Jawab:
Soal di atas memberikan dua buah persamaan linear tiga variabel yang membentuk
sebuah sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).
Agar memiliki solusi tunggal sebuah SPLTV harus terdiri atas minimal 3 buah
persamaan tiga variabel yang tidak saling kelipatan.
Karena soal hanya memberikan dua buah persamaan maka SPLTV di atas memiliki tak
hingga banyak solusi.
Artinya, kita bisa memilih sebarang nilai untuk salah satu variabel sehingga bisa
memperoleh nilai-nilai variabel yang lain.
Pertama-tama kita eliminasi x dari kedua persamaan.
x + y + z = 9
x + 5y + 10z = 44
———————— –
-4y – 9z = -35
Karena soal meminta bilangan positif yang memenuhi kedua persamaan,
kita pilih nilai z = 1 maka:
-4y – 9(1) = -35
↔ -4y – 9 = -35
↔ -4y = -26
↔ y = 6,5
Substitusikan nilai z =
1 dan y = 6,1 ke persamaan pertama.
x + y + z = 9
↔ x + 6,5 + 1 = 9
↔ x = 9 – 7,6
↔ x = 1,4
Jadi, salah satu kemungkinan bilangan positif yang memenuhi SPLTV pada soal
adalah
x = 1,4
y = 6,5
z = 1
7. Diketahui sistem persamaan linier x+y+z=4 ; x+y-z=2 ; (t^2 – 4)z =t-2 Berapakah nilai t agar sistem tersebut a) tidak memiliki penyelesaian, b) satu penyelesaian, c) tak berhingga banyak penyelesaian
Pembahasan:
Diketahui sistem persamaan linier
x + y + z = 4
x + y – z = 2
(t2 – 4)z = t – 2
Berapakah nilai t agar sistem tersebut
a) tidak memiliki penyelesaian,
b) satu penyelesaian,
c) tak berhingga banyak penyelesaian
Jawab:
Dari persamaan pertama dan kedua kita peroleh:
x + y + z = 4
↔ x + y = 4 – z
x + y – z = 2
↔ (4 – z) – z = 2
↔ 4 – z – z = 2
↔ -2z = -2
↔ z = 1
Substitusikan nilai z = 1 ke persamaan ketiga:
(t² – 4)z = t – 2
↔ (t² – 4)(1) = t – 2
↔ t² – 4 – t + 2 = 0
↔ t² – t – 2 = 0
↔ (t – 2)(t + 1)= 0
↔ t = 2 atau t = -1
Untuk t = 2, maka (2² – 4)z = 2 – 2 ↔ 0z = 0, sehingga sistem tidak akan punya penyelesaian.
Untuk t = -1, maka ((-1)² – 4)z = 2 – (-1) ↔ -3z = 3, z = -1, sehingga sistem akan punya banyak penyelesaian.
Sistem persamaan linear tiga variabel akan punya penyelesaian tunggal jika terdiri atas tiga persamaan linear tiga variabel yang berbeda.
8. Untuk suatu alasan, tiga pelajar anna,bob, dan chris mengukur berat badan secara berpasangan. Berat badan anna dan bob 226kg, bob dan chris 210kg, serta anna dan chris 200kg. Hitung berat badan setiap pelajar tersebut
Pembahasan:
Misalkan: anna = a
bob = b
chris = c
a + b = 226 … (1)
b + c = 210 … (2)
a + c = 200 … (3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2):
a + b = 226
b + c = 210 –
——————-
a – c = 16 … (4)
Eliminasi persamaan (3) dan (4):
a + c = 200
a – c = 16 –
——————-
2c = 184
c = 184 : 2
c = 92
a – c = 16
a – 92 = 16
a = 16 + 92
a = 108
a + b = 226
108 + b = 226
b = 226 – 108
b = 118
Berat Anna = 108 kg
Berat Bob = 118 kg
Berat Chris = 92 kg
9. Diketahui sistem persamaan sebagai berikut : 7a -6b-2c=9
6a+7b-9c=-2
Carilah nilai dri a pangkat 2+ b pangkat dua+c pangkat 2
6a+7b-9c=-2
Carilah nilai dri a pangkat 2+ b pangkat dua+c pangkat 2
Pembahasan:
Diketahui sistem persamaan sebagai berikut:
7a – 6b – 2c =
9
6a + 7b – 9c
= -2
Akan ditentukan nilai dari a²
+ b² + c².
Perhatikan
sistem persamaan yang diberikan.
Terdapat dua buah persamaan, dan masing-masing persamaan memiliki tiga
variabel, yaitu a, b, dan c.
Sistem persamaan tiga variabel yang hanya terdiri atas dua buah persamaan akan
menghasilkan solusi yang tidak trivial atau akan memiliki banyak solusi.
Artinya, kita bisa menentukan sebarang nilai untuk satu variabel dan akan memperoleh variabel kedua
dan ketiga yang kesemuanya memenuhi sistem persamaan tersebut.
Misalkan, kita ambil sebarang nilai c = 1,
maka kita peroleh:
7a – 6b – 2(1) = 9 ↔ 7a – 6b = 11 |×7| 49a – 42b = 77
6a + 7b – 9(1) = -2 ↔ 6a + 7b = 7 |×6|
36a + 42b = 42
———————— +
85a = 119
↔ a = 1,4
a = 1,4 maka
6(1,4) + 7b = 7
↔ 8,4 + 7b = 7
↔ 7b = 7 – 8,4
↔ b = -1,4/7 = -0,2
Kita peroleh nilai:
a = 1,4 ; b = -0,2 ; c = 1.
Akibatnya, nilai a² + b² + c²
= (1,4)² + (-0,2)² + (1)²
= 1,96 + 0,04 + 1
= 3
Jadi, nilai a² + b² + c² =3
10. Didefinisikan fungsi f(x) = ax2(kuadrat) + bx + c ” dikenal sebagai parabola” melalui titik (-1,-2) (1,0) dan (2,7).
A. Tentukan nilai a,b,dan c
B. Pilih tiga titik (x1,y1), (x2,y2), dan(x3,y3) sedemikian sehingga memenuhi persamaan fungsi f(x) = ax2( kuadrat) + bx + c. Mungkinkah ada persamaan yang lain dan melalui (x1,y1), (x2,y2), dan(x3,y3) ? Berikan alasanmu untuk jawaban yang kamu berikan
Pembahasan:
a. Didefinisikan
fungsi f(x) = ax² + bx + c
f(x) melalui titik (-1,-2) (1,0) dan (2,7).
f(x) melalui titik (-1,-2) → a(-1)² + b(-1) + c = -2 ↔ a – b + c = -2 (1)
f(x) melalui titik (1,0) → a(1)² + b(1) + c = 0 ↔ a + b + c = 0 (2)
f(x) melalui titik (2,7) → a(2)² + b(2) + c = 7 ↔ 4a + 2b + c = 7 (3)
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2).
a – b + c = -2
a + b + c = 0
—————– –
-2b = -2
↔ b = 1
Substitusikan b = 1 ke (2)
a + b + c = 0
↔ a + 1 + c = 0
↔ a = -c – 1
Substitusikan nilai b = 1 dan a = -c – 1 ke (3)
4a + 2b + c = 7
↔ 4(-c – 1) + 2(1) + c = 7
↔ -4c – 4 + 2 + c = 7
↔ -3c = 7 + 4 – 2
↔ c = 9/(-3) = -3
Substitusikan nilai c = -3 ke
a = -c – 1 = -(-3) – 1 = 2
Jadi, a = 2, b = 1, c = -3.
b. Pilih
tiga titik (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃) sedemikian sehingga memenuhi persamaan
fungsi
f(x) = ax² + bx + c.
Mungkinkah ada persamaan yang lain dan melalui (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃)?
Tiga buah titik berbeda (x₁,y₁), (x₂,y₂), dan (x₃,y₃) yang memenuhi sebuah
persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c akan memberikan tiga persamaan
linear dengan tiga variabel a, b, c.
Ketiga persamaan membentuk suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).
Selama masing-masing persamaan dari SPLTV bukan merupakan kelipatan dari
persamaan yang lain, maka SPLTV akan mempunyai solusi trivial (tunggal).
Artinya, tidak akan ada persamaan kuadrat lain yang melewati ketiga titik (x₁,y₁),
(x₂,y₂), dan (x₃,y₃).
