SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA KLS 8 LATIHAN 7.4 HAL 102 TH 2020
A. Pilihan Ganda
1. Sudut yang terbentuk antara diameter dengan garis singgung lingkaran adalah …
A. lancip
B. siku-siku
C. tumpul
D. tidak pasti
Pembahasan:
Perhatikan gambar , jarak antara dua titik yang terletak pada
lingkaran dan melalui titik pusat adalah diameter.
AB= CD = diameter
dengan AB⊥ CD
jika kita menggeser CD ke sebelah kanan terus menerus sampai
garis tersebut memotong lingkaran di satu titik, artinya C’D’
menyinggung lingkaran.
C’D’ = garis singgung
C’D’ sejajar CD dan tegak lurus terhadap AB.
Jadi, sudut yang terbentuk antara diameter (AB) dengan garis singgung
lingkaran (C’D’) adalah 90° atau siku-siku.
Jawaban: B
2. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 20 cm. Lingkaran A
dan B memiliki jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Panjang garis singgung
persekutuan luarnya adalah
A.9 cm C. 17 cm
B.12 cm D. 30 cm
Pembahasan:
Rumus panjang garis singgung persekutuan luar:
P² = L² + (R – r)²
dengan :
P = jarak antara kedua pusat lingkaran
L = panjang garis singgung persekutuan luar
R = jari-jari lingkaran yang lebih besar
r = jari-jari lingkaran yang lebih kecil
Diketahui:
P = 20 cm
R = 22 cm
r = 6 cm
Ditanyakan: L = … ?
Jawab:
P² = L² + (R – r)²
20² = L² + (22 – 6)²
20² = L² + 16²
400 = L² + 256
L² =4 00 – 256
L² = 144
L = √144
L = 12
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar nya adalah 12 cm.
Jawaban: B
3. Pada gambar di samping, suatu busur dibuat dengan pusat P dan
memotong garis di titik Q. Kemudian dengan jari-jari yang sama,
dibuat busur dengan pusat Q, sedemikian hingga memotong busur
pertama di titik R. Dari titik P, Q, dan R, dibuat sudut RRQ.
Ukuran sudut yang terbentuk dari sudut PRQ adalah ….
A. 300
B. 450
C. 600
D. 750
Pembahasan:
Perhatikan langkah-langkah menggambarnya:
1) Buat sebuah garis dan titik P pada garis tersebut
2) Buat busur lingkaran dengan jari-jari yang sudah kita tentukan, misalkan
dengan jari-jari 5 cm, dan busur itu memotong garis di titik Q, dengan
demikian berarti panjang PQ adalah 5 cm , karena PQ merupakan jari-jari
busur lingkaran tadi
3) Buat busur lingkaran lagi dengan panjang jari-jari yang sama, di titik Q
sebagai pusatnya, dan busur ini memotong busur tadi di titik R, dengan
demikian panjang QR sama dengan 5 cm, karena QR merupakan jari-jari
busur yang berpusat di Q
4) Hubungkan titik PQR, ternyata panjang PR juga sama dengan 5 cm, karena
PR juga merupakan jari-jari pusur lingkaran yang berpusat di P
5) Karena panjang PQ = QR = PR = 5 cm, berarti segitiga PQR adalah segitiga
sama sisi, dan sudut pada segitiga sama sisi adalah 60°
Untuk lebih jelasnya perhatika gambar di bawah.
Jawaban C) 60°
4. Pada gambar berikut, ABCD adalah suatu persegi panjang. Lingkarang P
dan Q adalah lingkaran yang sisi-sisinya sailing bersinggungan dengan
sisi persegi panjang.
Jika Jari-jari masing-masing lingkaran tersebut adalah 5cm, maka luas
persegi panjang adalah?…..
A. 50 cm2
B. 60 cm2
C. 100 cm2
D. 200 cm2
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Jari-jari (r) = 5 cm
Panjang AB = 4 × r
= 4 × 5 cm
= 20 cm
Panjang AD = 2 × r
= 2 × 5 cm
= 10 cm
Luas persegi panjang ABCD = AB × AD
= 20 cm × 10 cm
= 200 cm²
Jadi luas persegi panjang ABCD adalah 200 cm² (D)
5. Diketahui dua lingkaran berbeda jari jari lingkaran pertama adalah 15 cm
sedangkan jari jari lingkaran ke dua adalah 8 cm jika jarak pusat kedua
lingkaran tersebut adalah 25 cm, maka panjang garis singgung persekutuan
luar kedua lingkaran tersebut adalah…
A. 23 cm
B. 24 cm
C. 25 cm
D. 26 cm
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Diketahui:
PQ = Jarak pusat = 25 cm
r1 = Jari jari lingkaran besar = 15 cm
r2 = Jari jari lingkaran kecil = 8 cm
Ditanyakan : FH = panjang garis singgung persekutuan luar = …?
Jawab :
FH = √((PQ)2 – (r1 – r2)2)
FH = √((25)2 – (15 – 8)2)
FH = √((625) – (7)2)
FH = √(625 – 49)
FH = √576
FH = 24 cm
Jawabannya : B
B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A
dan B memiliki jari-jari berturut turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan :
a. panjang garis singgung persekutuan luarnya (jika ada)
b. sketsa gambarnya (lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada).
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Diketahui :
Jarak pusat lingkaran AB = 10 cm
Jari-jari A (r1) = 11 cm
Jari-jari B (r2) = 3 cm
Ditanyakan :
a. panjang ambar garis singgung persekutuan luar
Jawab :
a. Panjang garis singgung persekutuan luar (CD)
CD² = AB² – (AD – BC)²
CD² = AB² – (r1 – r2)²
CD² = 10² – (11 – 3)²
CD² = 10² – 8²
CD² = 100 – 64
CD² = 36
CD = √36
CD = 6 cm
Jadi panjang garis singgung persekutuan luar adalah 6 cm
b. Sketsa gambar garis singgung persekutuan luar bisa dilihat pada no a.
2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm.
Jari jari lingkaran C dan D berturut turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan:
a. Jarak pusat kedua lingkaran tersebut
b. Jarak kedua lingkaran tersebut
Pembahasan:
Diketahui:
Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D (L) = 24 cm
Jari-jari lingkaran C (R) = 15 cm
Jari-jari lingkaran D (r) = 8 cm
Ditanyakan
a. Jarak pusat kedua lingkaran tersebut = … ?
b. Jarak kedua lingkaran tersebut = … ?
Jawab
a. Jarak pusat kedua lingkaran tersebut adalah
P = √((L2) + (R – r)2)
P = √((242) + (15 – 8)2)
P = √((576) + (7)2)
P = √(576 + 49)
P = √625
P = 25 cm
b. Jarak kedua lingkaran tersebut adalah
J = P – (R + r)
J = 25 cm – (15 cm + 8 cm)
J = 25 cm – 23 cm
J = 2 cm
3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F
memiliki jari jari berturut – turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis
singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. (jika ada).
Pembahasan:
Perhatikan gambar
.
Diketahui:
r1 = 13 cm
r2 = 4 cm
Jarak antar lingkaran E dan F = 5 cm maka
Panjang EF = 13 + 5 + 4 = 22 cm
Ditanyakan:
Garis singgung persekutuan luar (L): …..?
Jawab:
L = √((EF)2 – (r1 – r2)2)
L = √((22)2 – (13 – 4)2)
L = √((484) – (9)2)
L = √(484 – 81)
L = √403
L = 20,1 cm
Jadi panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut
adalah 20,1 cm.
4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis
singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. sedangkan jarak kedua pusat
lingkaran tersebut adalah 26 cm. tentukan :
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut
b. jarak kedua lingkaran
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut
b. jarak kedua lingkaran
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Diketahui:
Panjang garis singgung persekutuan luarnya L = 24 cm
Jarak kedua pusat lingkaran tersebut P = 26 cm
d1 + d2 = 30 cm
Ditanyakan :
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut
b. jarak kedua lingkaran
Jawab :
Perhatikan gambar.
Jumlah jari-jari kedua lingkaran
d₁+ d₂ = 30
2R + 2r = 30 (kesemua ruas dibagi 2)
R + r = 15 … persamaa I
Selisih jari-jari kedua lingkaran
L² = P² – (R – r)²
24² = 26² – (R – r)²
576 = 676 – (R – r)²
(R – r)² = 676 – 576
(R – r)² = 100
R – r = √100
R – r = 10 … persamaan II
a. Menentukan panjang jari-jari kedua lingkaran
Eliminasi pers I dan II
R + r = 15
R – r = 10
————- +
2R = 25
R = 25/2
R = 12,5 cm
Subtitusikan R = 12,5
R + r = 15
12,5 + r = 15
r = 15 – 12,5
r = 2,5 cm
Jadi jari-jari kedua lingkara tersebut adalah 12,5 cm dan 2,5 cm
b. Menentukan jarak kedua lingkaran
KL = P – (R + r)
= 26 cm – (12,5 + 2,5) cm
= 26 cm – 15 cm
= 11 cm
Jadi jarak kedua lingkaran tersebut adalah 11 cm
5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki
jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung
persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.
Pembahasan:
Diketahui:
Jari-jari lingkaran I = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran I dan J = 12 cm
Ditanyakan:
Jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar
antara lingkaran I dan J.
Jawab:
Perhatikan gambar.
Jarak antar pusat IJ = 12 cm
r₁= jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I
Anggap r₂ sebagai jari-jari lingkaran terkecil, dalam hal ini r₂= 8 cm
⇔12² – (r₁ – 8)² ≥ 0
⇔(r₁ – 8)² ≤ 12²
⇔(r₁ – 8)² – 12² ≤ 0 ⇒ a² – b² = (a – b)(a + b)
⇔(r₁ – 8 – 12)(r₁ – 8 + 12) ≤ 0
⇔(r₁ – 20)(r₁ + 4) ≤ 0
Diperoleh r₁ = -4 dan r₂ = 20.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan batas-batas nilai r₁,
yakni -4 ≤ r₁ ≤ 20.
Perhatikan, karena jari-jari lingkaran harus bernilai positif dan GSPL tidak
mungkin sama dengan nol, batas-batas tersebut menjadi 0 < r₁< 20.
Kesimpulan:
Agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J,
panjang jari-jari lingkaran J harus kurang dari 20 cm.
Atau, dengan kata lain panjang jari-jari lingkaran J maksimal nilainya
mendekati 20 cm.
