SOAL DAN PEMBAHASAN BUKU SISWA MATEMATIKA SEMESTER 2 KELAS 9 LATIHAN 4.2 HALAMAN 226 TAHUN 2021
1. Perhatikan gambar di bawah ini.
Tunjukkan bahwa ∆PQS dan ∆RQS kongruen.
Pembahasan:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:
Sisi-sisi yg sama panjang
PQ = RQ → (diketahui ada tanda sama panjang)
QS (di Δ PQS) = QS (di Δ RQS) → (berhimpit)
PS = RS → (diketahui ada tanda sama panjang)
Sudut-sudut sama besar
∠ SPQ = ∠ QRS
∠ SQR = ∠ PQS
∠ PSQ = ∠ QSR
Karena yang diketahui pada sisi-sisinya,
Jadi, Δ PQS dan Δ RQS adalah kongruen yang mempunyai kreteria sisi – sisi – sisi.
Sisi-sisi yg sama panjang
PQ = RQ → (diketahui ada tanda sama panjang)
QS (di Δ PQS) = QS (di Δ RQS) → (berhimpit)
PS = RS → (diketahui ada tanda sama panjang)
Sudut-sudut sama besar
∠ SPQ = ∠ QRS
∠ SQR = ∠ PQS
∠ PSQ = ∠ QSR
Karena yang diketahui pada sisi-sisinya,
Jadi, Δ PQS dan Δ RQS adalah kongruen yang mempunyai kreteria sisi – sisi – sisi.
2. Perhatikan gambar di bawah ini.
Panjang AB = DE dan AB//DE.
Tunjukkan bahwa ∆ABC dan ∆EDC kongruen.
Pembahasan:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:
Sisi-sisi yg sama panjang
AB = DE → (diketahui pada pernyataan)
AC = CE
BC = CD
Sudut-sudut yg sama besar
∠ BAC = ∠ CED → (diketahui sudut berseberangan, karena AB // DE)
∠ ACB = ∠ DCE → (diketaui sudut bertolak belakang)
∠ ABC = ∠ CDE
Jadi, Δ ABC dan Δ CDE adalah kongruen yang memilili kreteria sisi – sudut – sudut.
3. Perhatikan gambar di bawah ini.
Titik C adalah titik pusat lingkaran. Tunjukkan bahwa dua segitiga pada
gambar di samping adalah kongruen.
Pembahasan:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:
Sisi-sisi yg sama panjang
AB = DE
BC = CD → (diketahui jari-jari lingkaran)
AC = CE → (diketahui jari-jari lingkaran)
Sudut-sudut sama besar
∠ ACB = ∠ DCE → (diketahui sudut bertolak belakang)
∠ ABC = ∠ CED = ∠ EDC = ∠ BAC
Jadi, Δ ABC dan EDC adalah kongruen yg berdasarkan kretiria sisi – sudut – sisi.
4. Bangun WXYZ adalah segi empat dengan sisi-sisi W XZ Y yang berhadapan
panjangnya sama. XZ adalah salah satu diagonalnya.
a. Tunjukkan bahwa ∆WXZ ≅ ∆ZYX.
b. Tunjukkan bahwa WXYZ adalah jajargenjang.
Pembahasan:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:
a. ∆WXZ ≅ ∆ZYX karena,
Sisi-sisi yg sama panjang
WZ = XY → (diketahui ada tanda sama panjang)
XZ (di Δ WXZ) = XZ (di Δ XYZ) → (berhimpit)
WX = YZ → (diketahui ada tanda sama panjang)
Sudut-sudut sama besar
∠ XWZ = ∠ XYZ
∠ XZW = ∠ XZY
∠ WXZ = ∠ YXZ
Karena yang diketahui pada sisi-sisinya,
Jadi, ∆WXZ ≅ ∆ZYX. adalah kongruen yang mempunyai kreteria sisi – sisi – sisi.
b. WXYZ adalah jajaran genjang karena,
Sisi-sisi yang berhadapan di setiap bangun jajar genjang selalu sama panjangnya
serta sejajar.( Pada gambar diatas sisi WX = YZ dan WZ = XY )
Sudut-sudut yang berhadapan di setiap bangun jajar genjang sama besarnya.
( Pada gambar diatas Sudut W = sudut Y dan Sudut X = sudut Z )
Di setiap bangun jajar genjang kedua diagonal yang saling membagi dua sama panjangnya.
5. Perhatikan gambar di bawah ini.
Titik O adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar. AB adalah garis singgung
dan titik P adalah titik singgung pada lingkaran kecil. Dengan menggunakan kekongruenan segitiga,
tunjukkan bahwa titik P adalah titik tengah AB.
Pembahasan:
Pada gambar di atas terdapat segitiga sama kaki AOB yang terbagi jadi dua segitiga
yaitu Δ OAP dan Δ OBP dengan titik tengah di P.
P adalah titik singgung pada lingkaran kecil, maka OP tegak lurus dengan AB.
OA = OB merupakan jari-jari lingkaran (sisi diketahui)
∠ OAP = ∠ OBP (sudut diketahui)
∠ OPB = OPA merupakan sudut siku-siku (sudut diketahui)
AP = BP sehingga titik P adalah titik tengah AB, dan Δ OAP dan Δ OBP adalah
kongruen yg berdasarkan kriteria sisi – sudut – sudut.
6. Perhatikan gambar di bawah ini.
Pada segitiga ABC, BM tegak lurus dengan AC, CN tegak lurus dengan AB.
Panjang BM = CN. Tunjukkan bahwa ∆BCM ≅ ∆CBN.
Pembahasan:
Untuk membuktikan bahwa dua segitiga kongruen (sama dan sebangun),
kita cukup menunjukkan kedua segitiga memenuhi salah satu dari tiga
kaidah berikut yaitu sisi-sisi-sisi, sudut-sisi-sudut, sisi-sudut-sisi.
Perhatikan bahwa segitiga BCM dan CBN adalah segitiga siku-siku
yang memiliki sisi miring berimpit BC dan BM = CN, sehingga,
CM² = BC² – BM² = BC² – CN² = BN²
↔ CM² = BN²
↔ CM = BN
Artinya, sisi-sisi bersesuaian dari kedua segitiga memiliki panjang yang sama,
sehingga memenuhi kaidah kekongruenan sisi-sisi-sisi.
Jadi, segitiga BCM dan segitiga CBN adalah dua segitiga yang sama dan sebangun (kongruen).
7. Perhatikan gambar di bawah ini.
Titik M adalah titik tengah QR. Garis XM dan YM masing-masing tegak lurus pada PQ
dan PR. Panjang XM = YM. Buktikan bahwa ∆QMX ≅ ∆RMY.
Pembahasan:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:
Sisi yang sama panjang
QM = MR (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
XQ = YR
MX = MY
Sudut-sudut yang sama besar
∠ MXQ = ∠ MYR (diketahui, sudut siku-siku)
∠ XMQ = ∠ YMR (diketahui, sudut berimpit/beradu)
∠ MQX = ∠ MRY
Jadi, ∆QMX ≅ ∆RMY karena berdasarkan kretiria sisi – sudut – sudut.
8. Menalar
Diketahui SR//PQ, OP = OQ, OS = OR.
Ada berapa pasang segitiga yang kongruen? Sebutkan dan buktikan.
Pembahasan:
Ada 3 pasang segitiga kongruen
a. ∆ POS kongruen ∆ QOR karena,
OS = OR (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
OS = OR (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
∠ POS = ∠ QOR → (diketaui sudut bertolak belakang)
Jadi, Δ POS dan QOR adalah kongruen yg berdasarkan kretiria sisi – sudut – sisi.
b. ∆ PSR kongruen ∆ QRS
PR = QS (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
RS = RS (diketahui, karena berimpit)
PS = QR
Jadi, ∆ PSR kongruen ∆ QRS adalah kongruen yg berdasarkan kretiria sisi – sisi – sisi.
c. ∆ PSQ kongruen ∆ QRP
PR = QS (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
PS = QR
PQ = PQ (berimpit)
Jadi, ∆ PSQ kongruen ∆ QRP adalah kongruen yg berdasarkan kretiria sisi – sisi – sisi.
9. Berpikir Kritis
Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian
sama besar pasti kongruen? Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu.
Pembahasan:
Dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
belum tentu Kongruen.Karena kita tidak tahu apakah sisi – sisinya yang bersesuain juga
akan sama besar.Beda halnya dengan pernyataan bahwa dua segitiga yang mempunyai
tiga pasang sisi yang bersesuaian sama besar pasti kongruen karena ketiga sudutnya
juga pasti akan kongruen.Jadi yang mempengaruhi kekongruenan disini adalah sisi-sisinya.
10. Berpikir Kritis
Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama
panjang dan sepasang sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen?
Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu.
Pembahasan:
Dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang
dan sepasang sudut yang berseseuaian sama besar pasti kongruen.
Karena pernyataan tersebut merupakan salah satu syarat kekongruenan.
11. Membagi Sudut
Gambarlah sebuah sudut dan beri nama ∠ABC, kemudian lakukan langkah berikut.
a. Dengan menggunakan jangka, bagilah ∠ABC tersebut menjadi dua sama besar.
b. Gambarlah lagi ∠ABC yang sama, kemudian tanpa menggunakan jangka
maupun busur derajat, bagilah ∠ABC tersebut menjadi dua sama besar.
(petunjuk: gunakan konsep segitiga kongruen)
Pembahasan:
a. Gunakan teknik membagi sudut menjadi dua bagian dengan jangka seperti langkah
di bawah ini: (perhatikan gambar)
1. Buat busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga memotong kaki sudut AB
di titik D dan memotong kaki sudut BC di titik E.
2. Buat lagi 2 buah busur lingkaran masing-masing dengan pusat di titik D dan E.
Perpotongan kedua busur lingkaran tersebut beri nama titik G.
3. Tarik garis dari titik B ke G, sehingga m∠ABG = ∠CBG.
Perhatikan gambarnya
b. Gambarlah garis AD yangsejajar dengan BC.
Gambarlah garis CD yang sejajar dengan BA. Sehingga terbentuk bangun
jajargenjang ABCD.
Tarik garis dari titik B ke D (diagonal jajargenjang ABCD).
Jelas bahwa ∆ABD ≅ ∆CBD dengan m∠ABD = ∠CBD.
Perhatikan gambarnya.
12. Chan ingin mengukur panjang sebuah danau tetapi tidak memungkinkan mengukurnya
secara langsung. Dia merencanakan suatu cara yaitu ia memilih titik P, Q, R dan mengukur
jarak QP dan RP (lihat ilustrasi gambar). Kemudian memperpanjang QP menuju ke
Q’dan RP menuju ke R’ sehingga panjang QP = PQ’ dan RP = PR’.
Chan menyimpulkan bahwa dengan mengukur panjang Q’R’ dia mendapatkan
panjang danau tersebut. Apakah menurutmu strategi Chan benar? Jelaskan.
Pembahasan:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:
RP = PR’ (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
QP = PQ’ (diketahui, karena ada tanda sama panjang)
∠ QPR = ∠ Q’PR’ → (diketaui sudut bertolak belakang)
Jadi, strategi Chan benar, karena chan menggunakan cara kekongruenan 2 segitiga,
serta memenuhi kriteria sisi-sudut-sisi.
Selamat belajar, semoga bermanfaat.
